Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
PT có \(\Delta'=1+3m^2>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ thực.
Áp dụng định lý Viete cho phương trình bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)
Để PT có hai nghiệm khác $0$ thì chỉ cần \(x_1x_2\neq 0\Leftrightarrow -3m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq 0\)
Biến đổi:
\(\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)\(\Leftrightarrow \frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(x_1-x_2)}{-3m^2}=\frac{8}{3}\Rightarrow x_1-x_2=-4m^2\Rightarrow (x_1-x_2)^2=16m^4\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16m^4\)
\(\Leftrightarrow 4+12m^2=16m^4\)
\(\Leftrightarrow 4m^4-3m^2-1=0\Leftrightarrow (m^2-1)(4m^2+1)=0\)
Hiển nhiên \(4m^2+1> 0,\forall m\) nên \(m^2-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1\) (thỏa mãn)
đk bài toán \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1;x_2\ne0\\\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\f\left(0\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3m^2\ge0\\-3m^2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ne0\)
hằng đẳng thức có \(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2-x_2^2}{x_1.x_2}=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)
công thức nghiệm có \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+3m^2}\)
vi et có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)
(2) \(\Leftrightarrow\dfrac{2.\left(x_1-x_2\right)}{-3m^2}=\dfrac{8}{3}\) (3)
có -3m^2 <0 mọi m khác 0 =>\(x_1-x_2< 0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1-\sqrt{1+3m^2}\\x_2=1+\sqrt{1+3m^2}\end{matrix}\right.\)
(3) \(\Leftrightarrow\dfrac{2\left[-2\sqrt{1+3m^2}\right]}{-3m^2}=\dfrac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3m^2+1}=2m^2\) \(\Leftrightarrow4m^4-3m^2-1=0\)
đặt m^2= t; => t >0
\(\Leftrightarrow4t^2-3t-1=0\left\{a+b+c=0\right\}\)
\(\left[{}\begin{matrix}t_1=1\\t_2=-\dfrac{1}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
kết luận m =+-1
\(\Delta^'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=2-m\)
Để PT có nghiệm thì: \(m\le2\)
Khi đó theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[4-3\left(m-1\right)\right]=0\)
Nếu \(x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2=1\Rightarrow m=1\left(tm\right)\)
Nếu \(4-3\left(m-1\right)=0\Rightarrow m=\frac{7}{3}\left(ktm\right)\)
Vậy m = 1
a) để phương trình có 2 nghiệm : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\Delta'\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\left(m+2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\6m+7\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{7}{6}\end{matrix}\right.\)
thay \(x_1=2\) vào phương trình ta có :
\(4\left(m-3\right)-4\left(m+2\right)+m+1=0\Leftrightarrow m=19\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}=\dfrac{2\left(21\right)}{16}=\dfrac{21}{8}\)
\(\Rightarrow x_2=\dfrac{21}{8}-x_1=\dfrac{21}{8}-2=\dfrac{5}{8}\)
vậy ....................................................................................................
b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m-3}\end{matrix}\right.\)
ta có : \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}:\dfrac{m+1}{m-3}=10\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+4}{m+1}=10\Leftrightarrow2m+4=10m+10\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}\left(L\right)\)
vậy không có m thỏa mãn điều kiện bài toán .
câu 2) a) để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'\ge0\\p>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\left(m+1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)\ge0\\\dfrac{m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\5m-1\ge0\\\left(m-1\right)\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ge\dfrac{1}{5}\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) vậy \(m>2\)
b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m+1\right)}{m-2}\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{m-2}\end{matrix}\right.\)
ta có : \(x_1^3+x_2^3=64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=64\)
\(\left(\dfrac{2m+2}{2-m}\right)^3+6\left(\dfrac{m-1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m+1}{m-2}\right)=64\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(-2m-2\right)^3}{\left(m-2\right)^3}+\dfrac{6\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^3}=64\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-8m^3-24m^2-24m-8+6m^2-12m^3-6m+12}{m^2-6m^2+12m-8}=64\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-20m^3-18m^2-30m+4}{m^3-6m^2+12m-8}=64\)
\(\Leftrightarrow84m^3-402m^2+798m-516=0\)
giải nốt nha .
Xét phương trình (1) có: \(\Delta=\left(-2\right)^2-4\left(m-1\right)=4-4m+4=8-4m\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow8-4m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(x_1^2+x_2^2=4m\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4m\)
\(\Leftrightarrow4-2m+2=4m\)
\(6m=6\Leftrightarrow m=1\)(tmđk)
Vậy để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=4m\) thì m=1
cho pt \(x^2-2x+m+1=0\)
tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đk \(\frac{2}{x_1}=1-\frac{2}{x_2}\)
\(\Delta'=1-\left(m+1\right)\ge0\Rightarrow m\le0\)
\(x_1x_2\ne0\Rightarrow m\ne-1\)
Khi đó: \(\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=1\Leftrightarrow\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)=x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow4=m+1\Rightarrow m=3>0\) (ktm)
Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài
có 2 nghiệm phân biệt chi và chỉ khi \(\Delta^,=\left(m-2\right)^2-m^2-2m+3>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4-m^2-2m+3>0\)
\(\Leftrightarrow-6m+7>0\Leftrightarrow m< \frac{7}{6}\)
Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow1-m\ge0\Leftrightarrow m\le1\)
Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2_1+x^2_2}{x^2_1x^2_2}=1\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=1\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4-2m=m^2\Leftrightarrow m^2+2m-4=0\)
\(\Delta'=1+4=5\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{5}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{5}\left(\text{loại}\right)\\m=-1-\sqrt{5}\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=-1-\sqrt{5}\)