Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : \(\Delta'=\left(-4\right)^2-8\left(m^2+1\right)=16-8m^2-8=8-8m^2\)
phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(8-8m^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2\le1\Leftrightarrow-1\le m\le1\)
áp dụng hệ thức vi - ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=\dfrac{m^2+1}{8}\end{matrix}\right.\)
ta có : \(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\Leftrightarrow\left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\) (vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow x_1-x_2\ne0\))
\(\Leftrightarrow1-2\left(\dfrac{m^2+1}{8}\right)=1-\dfrac{m^2+1}{8}\Leftrightarrow-2\left(\dfrac{m^2+1}{8}\right)=-\dfrac{m^2+1}{8}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}=0\Leftrightarrow m^2+1=0\left(vôlí\right)\)
vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện bài toán .
Bài 5:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
$\Delta'=(m-1)^2-m^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (m-1-m)(m-1+m)\geq 0$
$\Leftrightarrow 1-2m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}(*)$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
$(x_1-x_2)^2+6m=x_1-2x_2$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2+6m=(x_1+x_2)-3x_2$
$\Leftrightarrow 4(m-1)^2-4m^2+6m=2(m-1)-3x_2$
$\Leftrightarrow 4m-6=3x_2$
$\Leftrightarrow x_2=\frac{4}{3}m-2$
$x_1=2(m-1)-x_2=\frac{2}{3}m$
Suy ra:
$x_1x_2=m^2$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}m(\frac{4}{3}m-2)=m^2$
$\Leftrightarrow m(8m-12-9m)=0$
$\Leftrightarrow m(-m-12)=0$
$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-12$. Theo $(*)$ ta thấy 2 giá trị này đều thỏa mãn.
Bài 4:
Để pt có 2 nghiệm thì $\Delta'=4-2(2m^2-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow m^2-1\leq 0\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=\frac{2m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
$2x_1^2+4mx_2+2m^2-1\geq 0$
$\Leftrightarrow (2x_1^2-4mx_1+2m^2-1)+4mx_1+4mx_2\geq 0$
$\Leftrightarrow 0+4m(x_1+x_2)\geq 0$
$\Leftrightarrow 4m. 2\geq 0$
$\Leftrightarrow m\geq 0$
Kết hợp với điều kiện $-1\leq m\leq 1$ suy ra $0\leq m\leq 1$ thì ycđb được thỏa mãn.
Lời giải:
a) Gọi nghiệm chung của hai PT là \(a\). Có nghiệm chung nghĩa là PT
\(a^2+ma+2-(a^2+2a+m)=0\) phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow (a-1)(m-2)=0\)
Do đó nếu hai PT có nghiệm chung thì nghiệm đó là \(a=1\)
Thay vào \(\Rightarrow m+3=0\Rightarrow m=-3\)
b) Để PT \((x^2+mx+2)(x^2+2x+m)=0\) có bốn nghiệm phân biệt thì mỗi PT bậc hai trên phải có hai nghiệm pb.
Trước tiên phải xác định điều kiện có nghiệm\( \left\{\begin{matrix} \Delta _1=m^2-8>0\\ \Delta _2=4-4m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m<-\sqrt{8}\)
PT đã cho không có có bốn nghiệm phân biệt tức là \(x^2+mx+2=0\) và \(x^2+2x+m=0\) không có nghiệm chung, tức là \(m\neq -3\)
Vậy \(\left\{\begin{matrix}m< -\sqrt{8}\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)
c) Theo Viet có \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-m\\ x_1x_2=2\end{matrix}\right.+\left\{\begin{matrix} x_3+x_4=-2\\ x_3x_4=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow E=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m^2-4+4-2m=m^2-2m=(m-1)^2-1\geq -1\)
Vậy \(E_{\min}=-1\Leftrightarrow m=1\)
b: \(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot3\cdot\left(m+1\right)\)
\(=16-12m-12=-12m+4\)
Để pt có hai nghiệm thì -12m+4>=0
=>m<=1/3
Ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\dfrac{10}{9}\)
=>\(\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-2\cdot\left(m+1\right)=\dfrac{10}{9}\)
=>2(m+1)=16/9-10/9=6/9
=>m+1=3/9
=>m=-2/3
a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m+1<0
hay m<-1