Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng hệ thức Vi-ét,ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m-1}{1}=m-1\\x_1x_2=\frac{2m-6}{1}=2m-6\end{cases}}\)
\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m-1\right)^2-2\left(2m-6\right)}{2m-6}=\frac{m^2-6m+13}{2m-6}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow2m^2-12m+26=10m-30\Leftrightarrow2m^2-22m+56=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=4\\m=7\end{cases}}\)
Vây .....
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
1.
ĐK phương trình có 2 nghiệm:
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-4m^2+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m+5\ge0\Leftrightarrow m\ge-\frac{5}{4}\)
Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-2\left(m^2-1\right)=4m^2+4m+1-2m^2+2=2m^2+4m+3\)
Mà \(x_1^2+x_2^2=5\)
\(\Rightarrow2m^2+4m+3=5\)
\(\Leftrightarrow2m^2+4m-2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m-1=0\)
\(\Delta_{pt2}=2^2-4\left(-1\right)=4+4=8\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_1=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}\left(tm\right)\\m_2=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Xét pt \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\)
Để pt có hai nghiệm phân biệt <=>\(\Delta>0\) và \(m\ne1\)
<=> \(\left(-2m\right)^2-4\left(m-1\right)\left(m+2\right)>0\)
<=> \(4m^2-4\left(m^2+m-2\right)>0\)
<=> \(8-4m>0\) <=>m<2 và \(m\ne1\)
Áp dụng ht viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\x_1.x_2=\frac{m+2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Có \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+6=0\) <=> \(\frac{x_1^2+x_2^2+6x_1x_2}{x_1x_2}=0\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2=0\) <=> \(\frac{4m^2}{\left(m-1\right)^2}+\frac{4\left(m+2\right)}{m-1}=0\)
<=>\(4m^2+4\left(m+2\right)\left(m-1\right)=0\) <=> \(4m^2+4\left(m^2+m-2\right)=0\)
<=>\(8m^2+4m-8=0\)
\(\Delta=4^2-4.\left(-8\right).8=272>0\)
=>\(\sqrt{\Delta}=4\sqrt{17}\)
=>\(m_1=\frac{-4+4\sqrt{17}}{2.8}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\) (tm) và \(m_2=\frac{-4-4\sqrt{17}}{8.2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\) (tm)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-4m=\left(m-1\right)^2\ge0;\forall m\)
\(x_1x_2-2x_1+x_1x_2-2x_2>6\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)>3\)
\(\Leftrightarrow4m+2\left(m+1\right)>3\)
\(\Leftrightarrow6m>1\Rightarrow m>\frac{1}{6}\)