Question

[Trương Tấn Dũng]

cho phương trình x^2-mx+1=0 tìm m để pt có hai nghiệm x1,x2 sao cho thoả mãn \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2}+1}+x_{1}}=2\sqrt{2}-x_{1}-\sqrt{x_{2}^{2}+1}

Answer 1

[Đinh Trịnh Bảo Anh]

- Phương trình:x2−mx−1 = 0x2−mx−1 = 0 có Δ=m2+4>0Δ=m2+4>0, Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

- Ta có: (x21−1)(x22−1)=−1⇔x21x22−x21−x22+1=−1⇔(x1x2)2−(x1+x2)2+2x1x2+2=0⇔(ca)2−(−ba)2+2ca+2=0⇔1−m2−2=0⇔m2=1⇔m=1x12−1x22−1=−1⇔x12x22−x12−x22+1=−1⇔x1x22−(x1+x2)2+2x1x2+2=0⇔ca2−−ba2+2ca+2=0⇔1−m2−2=0⇔m2=1⇔m=1(thỏa mãn) hoặc m=-1 (thỏa mãn). Vậy 2 giá trị cần tìm của m là m=1 hoặc m=-1

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàn]

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ đi qua các bước sau:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2:

• Phương trình x² - mx + 1 = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0.
• Δ = (-m)² - 4(1)(1) = m² - 4.
• Vậy, m² - 4 ≥ 0, suy ra |m| ≥ 2.

2. Biến đổi biểu thức đã cho:

• \frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2}+1}+x_{1}} = 2\sqrt{2} - x₁ - \sqrt{x₂² + 1}
• Nhân cả tử và mẫu của vế trái với (\sqrt{x₁² + 1} - x₁):
• • \frac{\sqrt{x_{1}^{2}+1}-x_{1}}{x_{1}^{2}+1-x_{1}^{2}} = 2\sqrt{2} - x₁ - \sqrt{x₂² + 1}
  • \sqrt{x₁² + 1} - x₁ = 2\sqrt{2} - x₁ - \sqrt{x₂² + 1}
  • \sqrt{x₁² + 1} = 2\sqrt{2} - \sqrt{x₂² + 1}
  • \sqrt{x₁² + 1} + \sqrt{x₂² + 1} = 2\sqrt{2}

3. Áp dụng định lý Viète:

• Theo định lý Viète, ta có:
• • x₁ + x₂ = m
  • x₁x₂ = 1

4. Biến đổi và thay thế:

• Ta có x₂ = 1/x₁. Thay vào phương trình, ta có:
• • \sqrt{x₁² + 1} + \sqrt{(1/x₁)² + 1} = 2\sqrt{2}
  • \sqrt{x₁² + 1} + \sqrt{(1 + x₁²) / x₁²} = 2\sqrt{2}
  • \sqrt{x₁² + 1} + \sqrt{x₁² + 1} / |x₁| = 2\sqrt{2}
  • \sqrt{x₁² + 1} + \sqrt{x₁² + 1} / |x₁| = 2\sqrt{2}
  • \sqrt{x₁² + 1} (1 + 1/|x₁|) = 2\sqrt{2}
• Vì x₁x₂ = 1, nên x₁ và x₂ cùng dấu. Do đó, x₁² > 0.
• Ta có:
• • \sqrt{x₁² + 1} (1 + 1/|x₁|) = 2\sqrt{2}
  • \sqrt{x₁² + 1} (|x₁| + 1) / |x₁| = 2\sqrt{2}
• Ta có thể bình phương hai vế:
• • (x₁² + 1) (|x₁| + 1)² / x₁² = 8
  • (x₁² + 1) (x₁² + 2|x₁| + 1) = 8x₁²
  • x₁⁴ + 2|x₁|x₁² + x₁² + x₁² + 2|x₁| + 1 = 8x₁²
  • x₁⁴ + 2|x₁|x₁² - 6x₁² + 2|x₁| + 1 = 0
• Đặt t = |x₁|. Ta có:
• • t⁴ + 2t³ - 6t² + 2t + 1 = 0
• Phương trình trên khó giải trực tiếp. Ta có thể kiểm tra một số giá trị đặc biệt:
• Nếu x₁ = 1, ta có t = 1.
• • 1 + 2 - 6 + 2 + 1 = 0 (đúng).
  • Khi đó, x₁ = 1, x₂ = 1, suy ra m = x₁ + x₂ = 2.
• Nếu x₁ = -1, ta có t = 1.
• • 1 - 2 - 6 - 2 + 1 = -8 (sai).
• Vậy, m = 2 là một nghiệm.

Kết luận:

• m = 2 là giá trị cần tìm.