Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tất cả các pt dưới đây đều có nghiệm
\(\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=m\)
Đặt \(x^2-5x+4=t\) \(\Rightarrow x^2-5x+4-t=0\) (1)
\(\Rightarrow t\left(t+2\right)=m\Leftrightarrow t^2+2t-m=0\) (2)
Giả sử (2) có 2 nghiệm \(t_1;t_2\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-2\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1): \(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4-t_1=0\\x^2-5x+4-t_2=0\end{matrix}\right.\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=4-t_1\\x_3+x_4=5\\x_3x_4=4-t_2\end{matrix}\right.\)
\(Q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=\frac{5}{4-t_1}+\frac{5}{4-t_2}=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{\left(4-t_1\right)\left(4-t_2\right)}\)
\(=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{t_1t_2-4\left(t_1+t_2\right)+16}=\frac{40-5.\left(-2\right)}{-m-4.\left(-2\right)+16}=\frac{50}{24-m}\)
Phương trình tương đương:
\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)
Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.
\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)
Nghiệm của chúng lần lượt là:
\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)
Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)
Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x+3\right)=m\)
Đặt \(x^2+4x-5=t\ge-9\)
\(\Rightarrow t\left(t+8\right)-m=0\Leftrightarrow t^2+8t-m=0\) (1)
Để (1) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t>-9\Rightarrow-16< m< 9\)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của \(x^2+4x-5-t_1=0\) ; \(x_3;x_4\) là 2 nghiệm của \(x^2+4x-5-t_2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1x_2=-t_1-5\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-4\\x_3x_4=-t_2-5\end{matrix}\right.\)
Ta cũng có \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-8\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=-1\Leftrightarrow\frac{-4}{-t_1-5}+\frac{-4}{-t_2-5}=-1\)
\(\Leftrightarrow4\left(t_1+t_2\right)+40=-t_1t_2-5\left(t_1+t_2\right)-25\)
\(\Leftrightarrow t_1t_2+9\left(t_1+t_2\right)+65=0\)
\(\Leftrightarrow-m-72+65=0\Rightarrow m=-7\) (thỏa mãn)
PT
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1+4\right)\left(x^2+4x-1-4\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2-16=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2=m+16\) \(\left(DK:m\ge-16\right)\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+4x-1=\sqrt{m+16}\left(1\right)\\x^2+4x-1=-\sqrt{m+16}\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(1)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-1-\sqrt{m+16}=0\)
Ta co:
\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1-\sqrt{m+16}\right)=5+\sqrt{m+16}>0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=-2+\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\\x_2=-2-\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)
PT(2)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-1+\sqrt{m+16}=0\)
Ta lai co:
\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1+\sqrt{m+16}\right)=5-\sqrt{m+16}\)
De PT co 4 nghiem phan biet thi PT(1) va PT(2) co 2 nghiem phan bet
Suy ra PT(2) co 2 nghiem phan biet khi
\(5-\sqrt{m+16}>0\)
\(\Leftrightarrow m< 9\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_3=-2+\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\\x_4=-2-\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)
Ta lai co:
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_4+x_5}{x_4x_5}=\frac{4}{1+\sqrt{m+16}}+\frac{4}{1-\sqrt{m+16}}\text{ }=-\frac{8}{15+m}\)\(\left(DK:m\ne-15\right)\)
Ma \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{8}{m+15}=-1\)
\(\Leftrightarrow m=-7\)
Vay de PT \(\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)co 4 gnhiem phan biet thoa man
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)thi m=-7
Ta có : \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)
=> \(\left(x^2-7x+3x-21\right)\left(x^2-6x+2x-12\right)=m\)
=> \(\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)
- Đặt \(x^2-4x=a\) ta được phương trình :
\(\left(a-21\right)\left(a-12\right)=m\)
=> \(a^2-21a-12a+252-m=0\)
=> \(a^2-33a+252-m=0\)
=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(-33\right)^2-4\left(252-m\right)=81+4m\)
Lại có : \(x^2-4x=a\)
=> \(x^2-4x-a=0\) ( I )
- Để phương trình ( I ) có 4 nghiệm phân biệt
<=> Phương trình ( II ) có hai nghiệm phân biệt
<=> \(\Delta>0\)
<=> \(m>-\frac{81}{4}\)
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\\x_2=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\)
=> Ta được phương trình ( I ) là :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+\frac{\sqrt{81+4m}-33}{2}=0\\x^2-4x-\frac{\sqrt{81+4m}+33}{2}=0\end{matrix}\right.\)
- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=4\\x_3x_4=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
- Để \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)
<=> \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)
<=> \(\frac{4}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{4}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=4\)
<=> \(\frac{1}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{1}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=1\)
<=> \(\frac{2}{33-\sqrt{81+4m}}+\frac{2}{33+\sqrt{81+4m}}=1\)
<=> \(\frac{2\left(33-\sqrt{81+4m}\right)+2\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}{\left(33-\sqrt{81+4m}\right)\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}=1\)
<=> \(66-2\sqrt{81+4m}+66+2\sqrt{81+4m}=1089-81-4m\)
<=> \(66+66=1089-81-4m\)
<=> \(m=219\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2019\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-2020\\x_3x_4=2\end{matrix}\right.\)
\(Q=\left(x_1+x_3\right)\left(x_1+x_4\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_4\right)\)
\(Q=\left(x_1^2+x_1x_4+x_1x_3+x_3x_4\right)\left(x_2^2-x_2x_4-x_2x_3+x_3x_4\right)\)
\(Q=\left(x_1^2+x_1\left(x_3+x_4\right)+x_3x_4\right)\left(x_2^2-x_2\left(x_3+x_4\right)+x_3x_4\right)\)
\(Q=\left(x_1^2-2020x_1+2\right)\left(x_2^2+2020x_2+2\right)\)
Mặt khác do \(x_1\); \(x_2\) là nghiệm của \(x^2+2019x+2=0\) nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+2019x_1+2=0\\x_2^2+2019x_2+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+2=-2019x_1\\x_2^2+2=-2019x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow Q=\left(-2019x_1-2020x_1\right)\left(-2019x_2+2020x_2\right)\)
\(Q=-4039x_1.x_2=-4039.2=-8078\)
a.
Ta co:
\(\orbr{\begin{cases}x^2-2x-3=0\left(1\right)\left(x\ge0\right)\\x^2+2x-3=0\left(2\right)\left(x< 0\right)\end{cases}}\)
(1)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\left(l\right)\\x=3\left(n\right)\end{cases}}\)
(2)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(l\right)\\x=-3\left(n\right)\end{cases}}\)
b.
Ta lai co:
\(\orbr{\begin{cases}x^2-2x+1-4a^2=0\left(3\right)\left(x\ge0\right)\\x^2+2x+1-4a^2=0\left(4\right)\left(x< 0\right)\end{cases}}\)
Xet (3)
De phuong trinh dau co 4 nghiem thi PT(3) co nghiem
\(\Rightarrow\Delta^`>0\)
\(\Leftrightarrow4a^2>0\)
\(\Leftrightarrow a>0\)
\(\Rightarrow x_1=1+2a;x_2=1-2a\)
Tuong tu
(4)
\(a>0\)
\(\Rightarrow x_3=-1+2a;x_4=-1-2a\)
\(\Rightarrow S=\left(1+2a\right)^2+\left(1-2a\right)^2+\left(-1+2a\right)^2+\left(-1-2a\right)^2\)
\(=2\left(1+2a\right)^2+2\left(1-2a\right)^2\)
\(\Rightarrow S< +\infty\)
\(\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)-1=0\)
Đặt \(x^2+8x+7=t\) (1)
\(t\left(t+8\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+8t-1=0\)
Do \(ac< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=8\\t_1t_2=-1\end{matrix}\right.\)
- Với nghiệm \(t_1\) thay vào (1) ta có:
\(x^2+8x+7-t_1=0\)
Theo Viet, pt này có 2 nghiệm thỏa: \(x_1x_2=7-t_1\)
Với nghiệm \(t_2\) ta có: \(x^2+8x+7-t_2=0\)
Pt này có 2 nghiệm thỏa Viet: \(x_3x_4=7-t_2\)
Do đó: \(x_1x_2x_3x_4=\left(7-t_1\right)\left(7-t_2\right)\)
\(=49-7\left(t_1+t_2\right)+t_1t_2=49-7.8-1=-8\)
