Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo định lí Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1.x_2=-5\end{cases}\)
- \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1-2.\left(-5\right)=11\)
- \(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=1-3.\left(-5\right).1=16\)
- \(C=\left(2x_1+x_2\right)\left(2x_2+x_1\right)=\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)+x_1.x_2+1=1-5+1=-3\)
\(\Delta'=b'^2-ac=-6m+7=>\)\(m\ge\frac{7}{6}\)
Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}=>\)\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
=> \(x_1.x_2=5\)<=> \(m^2+2m-3=5\)<=> \(m^2+2m-8=0\)
Giải pt trên ta đc : \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-4\end{cases}}\)Mà \(m\ge\frac{7}{6}\)=> \(m=2\)
\(x^2-kx+k-1=0\)
Theo định lý Viet
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=k\\x_1x_2=k-1\end{matrix}\right.\)
Theo yêu cầu đề bài \(x^2_1x_2+x^2_2x_1=5\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)k=5\)
\(\Leftrightarrow k^2-k=5\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-5=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta=21\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\\k_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)
b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x^2_1+x^2_2\ge2\sqrt{x^2_1x^2_2}=2\left|x_1x_2\right|\)
\(\Leftrightarrow x^2_1+x^2_2\ge2\left|k-1\right|\)
Vì \(2\left|k-1\right|\ge0\)
\(\Rightarrow x^2_1+x^2_2\ge0\)
Vậy \(Min_{x^2_1+x^2_2}=0\) khi \(k=1\)