Question

[Bùi Minh Quang]

Cho phương trình \(2x^2-\left(m+2\right)x-1=0\) (1) với m là tham số.Goi x1,x2 là nghiệm phương trình (1) và x3,x4 là nghiệm phương trình\(x^2+\left(m+2\right)x-2=0\) (2) .Tìm tất cả các giá trị của m để \(x_1x_3+x_2x_4=\dfrac{-5}{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Do \(ac< 0\) (đối với cả 2 pt) nên 2 pt đã cho đều có 2 nghiệm pb trái dấu

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\left(m+2\right)\\x_3x_4=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2+x_3x_4=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow x_1x_3+x_2x_4=x_1x_2+x_3x_4\)

\(\Rightarrow x_1\left(x_3-x_2\right)-x_4\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_4\right)\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hai pt đã cho có ít nhất 1 nghiệm chung. Gọi nghiệm chung đó là \(x_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\\x_0^2+\left(m+2\right)x_0-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\left(1\right)\\2x_0^2+2\left(m+2\right)x_0-4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế (2) cho (1)

\(\Rightarrow3\left(m+2\right)x_0-3=0\Rightarrow x_0=\dfrac{1}{m+2}\) (với \(x\ne-2\))

Thế vào (1)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(m+2\right)^2}-2=0\Rightarrow\left(m+2\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)