Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( do a;b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi :
\(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ...
ưk,th1 và th2 đều cần thiết để chứng minh,đáng lẻ là có 1 trường hợp a<b nhưng mình cm là a>b rồi thì thôi
Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b + m (m \(\ge\) 0).
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a = b)
1 đ-ú-n-g nha, nghĩ mãi mới ra đó !
Ta có:
\(\frac{a}{b}>0\Rightarrow a,b\ne0\)
Giả sử: \(a\ge b\)Đặt: \(a=b+m\left(m\in N\right)\Rightarrow\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(=1+\frac{m}{b}+1-\frac{m}{b+m}=2+\frac{m}{b}-\frac{m}{b+m}\) Vì: \(b\le b+m\Rightarrow\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(ĐPCM\right)\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
"=" khi a=b. Nhưng a<b nên dấu bằng ko xảy ra,vậy ta có đpcm
Giải
Không giảm tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b + m \(\left(m\ge0\right)\)
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\ge2\) (dấu = \(\Leftrightarrow\) m = 0\(\Leftrightarrow\) a = b)
sửa lại b>0
Ta có ta có a/b + b/a \(\ge\) 2 (a^2 + b^2 )/ab \(\ge\) 2 a^2 + b^2 \(\ge\) 2ab =>a^2 -2ab + b^2 \(\ge\) 0 =>(a - b)^2 >= 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh dấu '" = "' xảy ra khi và chỉ khi a = b
Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)
hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)
=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)
a. Ta có
\(B=\frac{2011+2012}{2012+2013}=\frac{2011}{2012+2013}+\frac{2012}{2012+2013}.\)
Vì\(\frac{2011}{2012+2013}< \frac{2011}{2012}.\)(1)
\(\frac{2012}{2012+2013}< \frac{2012}{2013}.\)(2)
Cộng vế với vế của 1;2 ta được
\(B=\frac{2011}{2012+2013}+\frac{2012}{2012+2013}< A=\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}\)
hay A>B
Bài làm:
a) Vì \(\frac{13}{15}< 1\)\(\Rightarrow\frac{13}{15}< \frac{13+11}{15+11}=\frac{24}{26}\)
b) Vì \(\frac{13}{15}< 1\)\(\Rightarrow\frac{13}{15}< \frac{13+10}{15+10}=\frac{23}{25}\)
c) Vì \(\frac{3}{5}< 1\)\(\Rightarrow\frac{3}{5}< \frac{3+30}{5+30}=\frac{33}{35}\)
Học tốt!!!!
1 lớp học có 2 học sinh một bạn bị chết hỏi còn bao nhiêu bạn
a) Vì a > b
=> a.n > b.n
=> a.n + a.b > b.n + a.b
=> a.(b + n) > b.(a + n)
=> a/b > a+n/b+n ( đpcm)
Câu b và c lm tương tự
Không giảm tính tổng quát, giả sử a > b => a = b + m (m > 0)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra khi m = 0 <=> a = b)
ta có (a-b)2\(\ge\)0
a2+b2\(\ge\)2ab (1)
ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
kết hợp với (1) ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)