K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2023

Lời giải:

Do $x+y=1$ nên:

$P=\frac{x}{\sqrt{x+y-x}}+\frac{y}{\sqrt{x+y-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$
$=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}$

$\geq \frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\frac{1}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}$ (áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x\sqrt{y}+y\sqrt{x})^2\leq (x+y)(xy+xy)=2xy(x+y)\leq \frac{(x+y)^2}{2}(x+y)=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\geq \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$

Vậy $P_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$.

1: Ta có: \(A=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-\left(x-9\right)+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) thì \(x+\sqrt{x}=-\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(nhận\right)\)

2: Để A nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-1;1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;4;5;1;7\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{16;25;1;49\right\}\)

24 tháng 6 2021

a) đk: x\(\ge0\);

P = \(\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

b) Để P = \(\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{3}\)

<=> \(\dfrac{3\sqrt{x}-2x+2\sqrt{x}-2}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=0\)

<=> \(-2x+5\sqrt{x}-2=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Đặt \(\sqrt{x}=a\) (\(a\ge0\))

P = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}\)

Xét P + \(\dfrac{4}{9}\) = \(\dfrac{4a}{3a^2-3a+3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12a+4a^2-4a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4a^2+8a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4\left(a+1\right)^2}{9\left(a^2-a+1\right)}\ge0\)

Dấu "=" <=> a = -1 (loại)

=> Không tìm được Min của P

Xét P - \(\dfrac{4}{3}\) = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4a-4a^2+4a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4a^2+8a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4\left(a-1\right)^2}{3\left(a^2-a+1\right)}\le0\)

<=> \(P\le\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" <=> a = 1 <=> x = 1 (tm)

24 tháng 6 2021

Ai bảo cậu là không tìm được minP vậy?

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 11 2021

Lời giải:
a. \(B=\frac{3(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}-\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{3(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

b.

\(P=2AB+\sqrt{x}=2.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x}+2}+\sqrt{x}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

$P=\frac{4}{\sqrt{x}+2}+(\sqrt{x}+2)-2\geq 2\sqrt{4}-2=2$

Vậy $P_{\min}=2$ khi $\sqrt{x}+2=2\Leftrightarrow x=0$

1 tháng 2 2018

Đặt \(t=\sqrt{x}-1\) ta có \(t>0,\left(\forall x>1\right)\)\(\sqrt{x}=t+1;x=t^2+2t+1\) từ đó

\(P=\dfrac{t^2+3t+3}{t}=3+\left(t+\dfrac{3}{t}\right)\ge3+2\sqrt{t.\dfrac{3}{t}}=3+2\sqrt{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}t>0\\t=\dfrac{3}{t}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x=4+2\sqrt{3}\)

Vậy \(minP=3+2\sqrt{3}\)

9 tháng 2 2018

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+\sqrt{x}-1+1+2}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\sqrt{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}+3\)

với x >1 => \(\sqrt{x}-1>0;\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}>0\)

áp cô si cho 2 số dươg

\(P\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}+3=2\sqrt{3}+3\)

đẳng thức khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)

\(\sqrt{x}-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=4+2\sqrt{3}\)thỏa mãn đk của x

kết luận

GTNN \(3+2\sqrt{3}\)

31 tháng 10 2021

\(a,=\dfrac{2x+6\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}-3x-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}\\ =\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

31 tháng 10 2021

a: \(=\dfrac{2x+6\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}-3x-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

 

NV
13 tháng 12 2020

1. Với mọi số thực x;y;z ta có:

\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

1.1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu:

\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))

\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)

NV
13 tháng 12 2020

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu

...