Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
\(C=\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2x}{y}+y^2+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=4+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=4+\dfrac{4}{x^2y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
Áp dụng bđt cosi cho hai số dương:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow x^2y^2\le\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4}=\dfrac{4^2}{4}=4\)
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\)
Vậy \(C\ge4+\dfrac{4}{4}+2.2=4+1+4=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x^2=y^2=2\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của C là 9
1)
Điều kiện: \(x\geq \frac{-1}{2}\)
Bình phương hai vế:
\(x^2+4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{13}}{3}\)
Do \(x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) là nghiệm duy nhất của pt.
2)
a) \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\) (ĐK: \(x\geq -1\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+x-12)+12(\sqrt{x+1}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+4)+\frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right]=0\)
Do \(x\geq -1\Rightarrow x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\geq 3+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>0\)
Do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm x=3
b) Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+7}=a\\ x+4=b\end{matrix}\right.\)
PT tương đương:
\(x^2+7+4(x+4)-16=(x+4)\sqrt{x^2+7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b-16=ab\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4)-b(a-4)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4-b)=0\)
+ Nếu \(a-4=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(a+4-b=0\Leftrightarrow a=b-4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=x\)
\(\Rightarrow x\geq 0\). Bình phương hai vế thu được: \(x^2+7=x^2\Leftrightarrow 7=0\) (vô lý)
Vậy pt có nghiệm \(x=\pm 3\)
Câu 3:
Ta có \(M=\frac{x^2+2000x+196}{x}\)
\(\Leftrightarrow M=x+2000+\frac{196}{x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+\frac{196}{x}\geq 2\sqrt{196}=28\)
\(\Rightarrow M=x+\frac{196}{x}+2000\geq 28+2000=2028\)
Vậy M (min) =2028. Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{196}{x}\\ x>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=14\)
Lời giải:
Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{2a}{xy}(1)\)
Theo BĐT Cô-si cho 2 số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\geq 4xy\)
\(\Rightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{4a^2}{4}=a^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow x=y=a\)
Ta có : x > 0 ; y > 0. Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel ta có :
\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)
=> A đạt GTNN khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow x=y=a\)
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
$P=1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x+1}$
Khi $x$ lớn vô hạn thì $P$ sẽ nhỏ vô hạn nên biểu thức này không có min.