Question

[Kim so hyun]

Cho (P): \(y=x^2\)

1. Trên (P) lấy điểm M có hoành độ là \(\frac{1}{2}\). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M tiếp xúc với (P) tại M
2. Cho A(2;3). Viết phương trình đường thẳng \(\left(d_1\right)\) đi qua A và tiếp xúc với (P)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

1. Vì $M$ nằm trên $(P)$ nên \(y_M=x_M^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)

Gọi PTĐT (d) là $y=ax+b$

PT hoành độ giao điểm giữa (d) với (P): \(x^2-ax-b=0\)

Để (d) tiếp xúc với (P) nên PT hoành độ giao điểm chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x_M$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta=a^2+4b=0\\ x_M^2-ax_M-b=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a-b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=1; b=-\frac{1}{4}\)

Vậy PTĐT là \(y=x-\frac{1}{4}\)

2. Gọi PTĐT (d1) là $y=mx+n$

Vì $A(2;3)$ thuộc (d1) nên \(3=2m+n(1)\)

(P) và (d1) tiếp xúc với nhau nên PT hoành độ giao điểm \(x^2-mx-n=0\) chỉ có 1 nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow \Delta=m^2+4n=0(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=6\rightarrow n=-9\\ m=2\rightarrow n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy PTĐT (d1) là \(y=6x-9\) hoặc \(y=2x-1\)