Question

[Nguyễn Anh Đức]

Cho P= n⁴ +4 . Tìm tất cả giá trị của n để P là số nguyên tố

Answer 1

[Khong Biet]

P=\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)-4n^2=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

Để P là số nguyên tố thì:

TH1:\(\hept{\begin{cases}n^2-2n+2=1\\n^2+2n+2=n^4+4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n-2\right)=-1\left(1\right)\\n^2+2n+2=n^4+4\left(2\right)\end{cases}}\).Giải phương trình (1)  ta được n=1 thay vào phương trình 2 cũng thỏa mãn.Vậy x=1 thỏa mãn

TH2:\(\hept{\begin{cases}n^2+2n+2=1\\n^2-2n+2=n^4+4\end{cases}}\).Tương tự TH1 thì ta cũng có x=-1 thỏa  mãn

Vậy...........................

Answer 2

[khoa le nho]

BS đề bài : n thuộc N*

P = n⁴+4 = n⁴ + 4n² + 4 - 4n²

= (n² + 2)² - (2n)²

= (n² - 2n +2)(n² + 2n + 2)

Mà n² + 2n +2 > n² - 2n +2 ( vì n thuộc N*)

\(\Rightarrow\)Để P là số nguyên tố thì n² - 2n + 2 = 1

\(\Rightarrow\)n² - 2n +1 = 0

\(\Rightarrow\)(n - 1)² = 0 

\(\Rightarrow\)n - 1 = 0 

\(\Rightarrow\)n = 1 ( thỏa mãn điều kiện )

Thử lại  : Với n=1 thì P = 1⁴ +4 = 5 là số nguyên tố ( chọn )

Vậy n = 1