Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Chứng minh được OC là đường trung bình của hình thang AEFB nên C là trung điểm của EF. Chứng minh được AE=AH, BH=BF nên C H 2 = HA.HB = AE.BF
b, Ta có BE ∩ (O) = {H} => FE = AH ≤ AB
=> F E m a x = AB => C là điểm chính giữa AB
a, Ta có: E C A ^ + O C A ^ = 90 0 và A C H ^ + O A C ^ = 90 0
mà O A C ^ = O C A ^ (do tam giác AOC cân tại O)
Suy ra E C A ^ = A C H ^
Khi đó E A C ^ = H A C ^ (cùng lần lượt phụ với E C A ^ và A C H ^ ), ta có đpcm
b, Chứng minh tương tự suy ra BC là phân giác của F B H ^
Từ đó, chứng minh được BC vuông góc HF (1)
Tam giác ABC có trung tuyến OC = 1 2 AB. Suy ra tam giác ABC vuông tại C , tức là BC vuông góc với AC (2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm
c, Ta có : AE+BF =2OC=2R không đổi
d, Ta có A E . B F ≤ A E + B F 2 4 = R 2
suy ra AE.BF lớn nhất = R 2 óAE=BF=R
Điều này xẩy ra khi C là điểm chính giữa cung AB
(Quá lực!!!)
E N A B C D O H L
Đầu tiên, hãy CM tam giác \(EAH\) và \(ABD\) đồng dạng.
Từ đó suy ra \(\frac{EA}{AB}=\frac{AH}{BD}\) hay \(\frac{EA}{OB}=\frac{AC}{BD}\).
Từ đây CM được tam giác \(EAC\) và \(OBD\) đồng dạng.
Suy ra \(\widehat{ECA}=\widehat{ODB}\). Do đó nếu gọi \(OD\) cắt \(EC\) tại \(L\) thì CM được \(OD⊥EC\).
-----
Đường tròn đường kính \(NC\) cắt \(EC\) tại \(F\) nghĩa là \(NF⊥EC\), hay \(NF\) song song với \(OD\).
Vậy \(NF\) chính là đường trung bình của tam giác \(AOD\), vậy \(NF\) qua trung điểm \(AO\) (là một điểm cố định) (đpcm)
A B O C E F H
a/
Ta có
\(AE\perp d\left(gt\right);OC\perp d\left(gt\right);BF\perp d\left(gt\right)\) => AE//OC//BF
\(\Rightarrow\dfrac{CE}{OA}=\dfrac{CF}{OB}\left(Talet\right)\) Mà \(OA=OB\Rightarrow CE=CF\)
Xét (O)
\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAC}\) )
\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nt)
\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ABC}\)
Xét tg vuông ACH và tg vuông ACE
\(\widehat{ACH}=\widehat{ACE}\) (cùng \(=\widehat{ABC}\))
AC chung
=> tg ACH = tg ACE (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow AH=AE\) (1)
C/m tương tự ta cũng có tg BCH = tg BCF
\(\Rightarrow BH=BF\) (2)
Xét tg vuông ACB
\(CH^2=AH.BH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (3)
Từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow CH^2=AE.BF\)
b/
tg ACH = tg ACE (cmt)\(\Rightarrow CH=CE\)
tg BCH = tg BCF (cmt)\(\Rightarrow CH=CF\)
\(\Rightarrow EF=CE+CF=2CH\)
EF lớn nhất khi CH lớn nhất; CH lớn nhất khi CH = bán kính (O)
\(\Rightarrow H\equiv O\)
Xét tg vuông ACO và tg vuông BCO có
OA=OB; OC chung => tg ACO = tg BCO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow AC=BC\Rightarrow sđcungAC=sđcungBC\)(trong hình tròn 2 dây cung = nhau thì 2 cung chắn tương ứng có số đo bằng nhau)
=> C là điểm giữa của cung AB