Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến vởi nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh \(AM.BN=R^2.\)

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\) khi \(AM=\dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Answer 1

[Thien Tu Borum]

Giải:

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác cả AOP và BOP

Mà AOP kể bù BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ∆MON vuông tại O.

Lại có ∆APB vuông vì có góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)

Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có + = 2v. Nên = (cùng chắn cung OP).

Vậy hai tam giác vuông MON à APB đồng dạng vị có cắp góc nhọn bằng nhau.

b)

Tam giác AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tam giác vuông MON có OP là đường cao nên:

MN.PN = OP² (2)

Từ 1 và 2 suy ra AM.BN = OP² = R²

c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có :

Khi AM = thi do AM.BN = R² suy ra BN = 2R

Do đó MN = MP + PN = AM + BN = + 2R =

Suy ra MN² =

Vậy =

d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu có bán kính R.

Vậy V = πR³