Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ OC và OD
a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C
=>CM=AC (1) , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC
Lại có: BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D
=> BD=MD(2) , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD
Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180O
Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB
Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180o
⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180o
⇔ 2(∠COM+ ∠MOD)=180o
⇔ ∠COM+ ∠MOD=\(\dfrac{180^0}{2}\)=90o
Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90o nên ∠COD=90o =>△COD là tam giác vuông(3)
Từ (1),(2) và(3), suy ra:
Trong △COD,có: CD=CM+MD =AC+BD
Vậy CD=AC+BD (đpcm)
b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI
Ta có: △COD là tam giác vuông
Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=\(\dfrac{CD}{2}\)
=> IO=CI=ID (1)
Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD
=> ACDB là hình thang vuông(1)
Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB
=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB(2)
Từ (1) và (2), suy ra: IO ⊥AB
=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)
Ta có: CM+DM=CD
nên CD=CA+DB
b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=90^0\)
=>\(\widehat{COD}=90^0\)
hay ΔCOD vuông tại O
a) Xét tứ giác AOMC có
ˆCAOCAO^ và ˆCMOCMO^ là hai góc đối
ˆCAO+ˆCMO=1800(900+900=1800)CAO^+CMO^=1800(900+900=1800)
Do đó: AOMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Ta có: AOMC là tứ giác nội tiếp(cmt)
nên ˆMAO=ˆOCMMAO^=OCM^(hai góc cùng nhìn cạnh OM)
hay ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^
Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(Gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Gt)
Do đó: OC là tia phân giác của ˆAOMAOM^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇔ˆAOM=2⋅ˆCOM⇔AOM^=2⋅COM^
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của ˆMOBMOB^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇔ˆBOM=2⋅ˆMOD⇔BOM^=2⋅MOD^
Ta có: ˆAOM+ˆBOM=1800AOM^+BOM^=1800(hai góc kề bù)
mà ˆAOM=2⋅ˆCOMAOM^=2⋅COM^(cmt)
và ˆBOM=2⋅ˆMODBOM^=2⋅MOD^(cmt)
nên 2⋅ˆCOM+2⋅ˆMOD=18002⋅COM^+2⋅MOD^=1800
⇔ˆCOM+ˆMOD=900⇔COM^+MOD^=900
mà ˆCOM+ˆMOD=ˆCODCOM^+MOD^=COD^(tia OM nằm giữa hai tia OC,OD)
nên ˆCOD=900COD^=900
Xét ΔCOD có ˆCOD=900COD^=900(cmt)
nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp đường tròn(M,A,B∈(O))
AB là đường kính(gt)
Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)
Xét ΔAMB vuông tại M và ΔCOD vuông tại O có
ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^(cmt)
Do đó: ΔAMB∼ΔCOD(g-g)
⇔AMCO=BMDOAMCO=BMDO(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay AM⋅OD=BM⋅OCAM⋅OD=BM⋅OC(đpcm)
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến
a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD
b, C O A ^ = C O M ^ ; D O M ^ = D O B ^
=> C O D ^ = 90 0
c, AC.BD = MC.MD = M O 2 = R 2
d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm
a) Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)
mà CM=CA(cmt)
mà DM=DB(cmt)
nên AC+BD=CD(đpcm)
b) Gọi G là tâm của đường tròn đường kính CD
Xét (G) có CD là đường kính
nên G là trung điểm của CD
Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))
BD⊥BA(BD là tiếp tuyến của (O))
Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)
nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)
Xét (O) có AB là đường kính
nên O là trung điểm của AB
Hình thang ACDB(AC//DB) có
G là trung điểm của cạnh bên CD(cmt)
O là trung điểm của cạnh bên AB(cmt)
Do đó: GO là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒GO//AC//BD và \(GO=\dfrac{AC+BD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: GO//AC(cmt)
AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))
Do đó: GO⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
hay GO⊥OA
Xét (O) có
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{AOM}\)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)
Ta có: \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC và OD)
hay \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)
nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)
mà OG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(G là trung điểm của CD)
nên \(OG=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CG=\dfrac{CD}{2}\)(G là trung điểm của CD)
nên OG=CG
⇔OG=R'
hay O∈(G)
Xét (G) có
O∈(G)
AO⊥GO tại O(cmt)
Do đó: AO là tiếp tuyến của (G)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
⇔AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD(đpcm)