Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét (I) có
ΔPMN nội tiếp đường tròn(P,M,N\(\in\)(I))
MN là đường kính(gt)
Do đó: ΔPMN vuông tại P(Định lí)
mà PM=PN(P là điểm chính giữa của (I))
nên ΔPMN vuông cân tại P
\(\Leftrightarrow\widehat{PMN}=45^0\)
hay \(\widehat{SMN}=45^0\)
Xét ΔSNM vuông tại N có \(\widehat{SMN}=45^0\)(cmt)
nên ΔSNM vuông cân tại N(Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân)
hay NS=NM(Hai cạnh bên)
Bài 5:
a: Xét tứ giác BHCA có \(\widehat{BHA}=\widehat{BCA}=90^0\)
nên BHCA là tứ giác nội tiếp
=>B,H,C,A cùng thuộc một đường tròn
b: Xét ΔKHA vuông tại H và ΔKCB vuông tại C có
\(\widehat{HKA}\) chung
Do đó: ΔKHA đồng dạng với ΔKCB
=>\(\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KA}{KB}\)
=>\(KH\cdot KB=KA\cdot KC\)
c: Gọi giao điểm của KE với BA là M
Xét ΔKBA có
AH,BC là các đường cao
AH cắt BC tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔKBA
=>KE\(\perp\)BA tại M
Xét ΔBME vuông tại M và ΔBCA vuông tại C có
\(\widehat{MBE}\) chung
Do đó: ΔBME đồng dạng với ΔBCA
=>\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\)
=>\(BM\cdot BA=BC\cdot BE\)
Xét ΔAME vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{MAE}\) chung
Do đó: ΔAME đồng dạng với ΔAHB
=>\(\dfrac{AM}{HA}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AH\cdot AE=AM\cdot AB\)
\(BC\cdot BE+AH\cdot AE=BM\cdot BA+AM\cdot AB=AB^2\) không đổi
a/ Xét tam giác MAO và tam giác MCO có
MA = MC
MO chung
AO = AC
=> tam giác MAO = tam giác MCO
\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)
\(\Rightarrow OM\) là phân giác \(\widehat{AOC}\) mà tam giác AOC cân tạo O
\(\Rightarrow OM\) là đường cao của tam giác AOC
\(\Rightarrow\)OM vuông góc với AC
b/ Từ câu a ta suy ra được OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\)OM vuông góc AC
Mà NC vuông góc AC
=> OM // NC (1)
ta lại có AI = IC (2)
Từ (1) và (2) => OM là đường trung bình của tam giác ONC
=> M là trung điểm của AN
c/ Ta thấy rằng CH // AN (vì cùng vuông góc AB)
\(\Rightarrow\frac{CK}{MN}=\frac{BK}{BM}=\frac{KH}{AM}\)
Mà MN = AM nên => CK = KH
Vậy K là trung điểm của CH
Ta có: BA, BN là tiếp tuyến (O)
⇒ OB là phân giác \(\widehat{OAN}\)
Mà △ OAN cân tại O ( vì OA = ON )
⇒ OB ⊥ AN ( đpcm )
b) Ta có: \(\widehat{MAN}=90^0\) ( vì \(\widehat{MAN}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ MC ⊥ AN
Mà AN ⊥ OB
⇒ MC // OB
Xét △ NMC có
MC // OB
O là trung điểm MN
⇒ OB là đường phân giác △ NMC
⇒ B là trung điểm CN