Câu hỏi của Ngô Xuân Bắc

Question

Cho nnn là một số nguyên dương. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương nnn sao cho n2+1n^2 + 1n2+1 chia hết cho 2n+12n + 12n+1.

Lê Song Phương · Accepted Answer

$n^2+1⋮2n+1$

$\Leftrightarrow\exists k\inℕ^∗:n^2+1=k\left(2n+1\right)$

$\Leftrightarrow n^2-2kn+1-k=0$

Có $\Delta'=\left(-k^2\right)-\left(1-k\right)=k^2+k-1$

Vì $n\inℕ^∗$nên $\Delta'$ phải là số chính phương

$\Leftrightarrow\exists l\inℕ^∗:k^2+k-1=l^2$

$\Leftrightarrow4k^2+4k-4=4l^2$

$\Leftrightarrow\left(4k^2+4k+1\right)-4l^2=5$

$\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2-\left(2l\right)^2=5$

$\Leftrightarrow\left(2k+2l+1\right)\left(2k-2l+1\right)=5$

Vì $k,l\inℕ^∗$ và $2k+2l+1>2k-2l+1>0$ nên ta chỉ có 1 TH duy nhất là $\left\{{}\begin{matrix}2k+2l+1=5\2k-2l+1=1\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow k=l=1$

Khi đó $n^2+1=2n+1$

$\Leftrightarrow n^2=2n$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\left(loại\right)\n=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.$

Vậy $n=2$ là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn ycbt.

Câu trả lời: $n^2+1⋮2n+1$