Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
N = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2)
4N = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5-1) + ... + n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]
4N = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)(n)(n+1)(n+2)
4N = n(n+1)(n+2)(n+3)
4N + 1 = ( n2 + 3n + 1)2 ( đpcm )
sử dụng phương pháp quy nạp
*với n=1 thì 2 chia hết cho2
*với n=2 thì 3*4=12 chia hết cho 4
thử đúng đến n=k cần cm n=k+
ta có (k+1)(k+2)(k+3).....(k+k-1)(k+k)chia hết cho 2k
n=k+1 biểu thức có dạng (k+1+1)(k+1+2)....(k+1+k)(k+1+k+1)
=2(k+1)(k+2)(k+3)....(k+k-1)(k+k)(k+k+1)chia hết cho2k*2=2k+1
1/ b) Đặt \(\sqrt[3]{6x+4}=a\Rightarrow a^3=6x+4\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3=6a+4\\a^3=6x+4\end{matrix}\right.\)
Lấy pt trên trừ pt dưới vế với vế, suy ra:
\(\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2+6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=a\Leftrightarrow x^3-6x-4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\)
Vừa post xong
Lời giải như sau: Kí hiệu \(n!=1\cdot2\cdots n\) là tích \(n\) số nguyên dương đầu tiên. Khi đó ta sẽ có
Tử số bằng \(\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot3\right)\left(2\cdot5\right)\cdots\left(2\cdot\left(2n-1\right)\right)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right).\)
Mẫu số bằng \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+5\right)\cdots\left(2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{\left(2n\right)!}{n!}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}\).
Suy ra \(a_n=\frac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\cdot n!\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(=\frac{2^n\cdot n!}{\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot2\right)\cdots\left(2\cdot n\right)}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\).
Cuối cùng ta có \(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=y\left(y+2\right)+1=\left(y+1\right)^2\)
ở đó \(y=n^2+5n+4\) là số nguyên. Vậy \(a_n\) là số chính phương.
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{4n^2}=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{\left(2n\right)^2}\)
\(=\left|2n+1\right|+\left|2n\right|\)
Vì \(n\inℕ\)\(\Rightarrow2n+1>0\); \(2n\ge0\)
\(\Rightarrow\left|2n+1\right|=2n+1\)và \(\left|2n\right|=2n\)
\(\Rightarrow VT=2n+1+2n=4n+1\)
Ta có: \(VP=\left(2n+1\right)^2-4n^2=\left(2n+1\right)^2-\left(2n\right)^2\)
\(=\left(2n+1-2n\right)\left(2n+1+2n\right)=4n+1\)
\(\Rightarrow VT=VP\)\(\Rightarrowđpcm\)