Question

[Lê Trường Nhựt]

cho n ϵ N*.chứng tỏ rằng 10ⁿ+18n-1 chia hết cho 27

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

+ Với \(n=1\)

\(10^n+18n-1=27⋮27\)

+ Giả sử với \(n=k\) mà

\(10^k+18k-1⋮27\)

+ Ta cần c/m với \(n=k+1\) thì

\(10^n+18n-1=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Ta có

\(10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1=\)

\(=10.10^k+18k+18-1=\)

\(=\left(10^k+18k-1\right)+9.10^k+18\)

Ta có 

\(9.10^k+18=9.\left(999...9+1\right)+18=\) (có k chữ số 9)

\(=9.\left(9.111...1+1\right)+18=\) (có k chữ số 1)

\(=81.111...1+9+18=3.27.111...1+27=\)

\(=27\left(3.111...1+1\right)⋮27\)

Mà \(10^k+18k-1⋮27\)

\(\Rightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Theo nguyên lý phương pháp quy nạp

\(\Rightarrow10^n+18n-1⋮27\forall n\in\)N*

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

\(A=10^n+18n-1\)

\(=\left(10^n-1\right)+18n\)

\(=9999...999+18n\)(n chữ số 9)

\(=9\left(1111...1+2n\right)⋮9\)(n chữ số 1)

Tổng các chữ số của 1111...1+2n là:

2n+n=3n chia hết cho 3

=>\(A=9\left(1111...1+2n\right)⋮9\cdot3\)

=>\(A⋮27\)