Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: A = 20n + 16n - 3n - 1
Do n chẵn => n = 2k
Khi đó: A = 202k + 162k - 32k - 1
A = (202k - 1) + (256k - 9k)
Do 202k - 1 \(⋮\)(20 - 1) = 19
256k - 9k \(⋮\)(256 - 9) = 247 \(⋮\)19
=> A \(⋮\)19 (1)
Mặt khác, ta lại có:
A = 202k + 162k - 32k - 1 = (202k - 32k) + (256k - 1)
Do 202k - 32k \(⋮\)(20 - 3) = 17
256k - 1 \(⋮\)(256 - 1)= 255 \(⋮\)17
=> A \(⋮\)17 (2)
Mà (17; 19) = 1 => A \(⋮\)17.19 = 323 (đpcm)
Vì n chẵn
Đặt n = 2k (k \(\inℕ\))
Khi đó A = 20n + 16n - 3n - 1
= 202k + 162k - 32k - 1
= 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 1) + (256k - 9k)
= (400 - 1)(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + (256 - 9)(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 399(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 247(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 19.13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.(21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)) \(⋮\)19 (1)
Lại có A = 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 9k) + (256k - 1)
= (400 - 9)(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + (256 - 1)(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 391(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 255(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 17.15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.(23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)) \(⋮\)17 (2)
Lại có ƯCLN(17;19) = 1 (3)
Từ (1)(2)(3) => A \(⋮17.19=323\)(ĐPCM)
323 =17.19.
Ta có: \(20^n+16^n-3^n-1=\left(20^n-3^n\right)+\left(16^n-1\right)\)
\(20^n-3^n⋮17,16^n-1⋮17\)(vì n chẵn)
\(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮17\)(1)
Tương tự:
\(20^n+16^n-3^n-1=\left(20^n-1\right)+\left(16^n-3^n\right)\)
\(20^n-1⋮19,16^n-3^n⋮19\)(vì n chẵn)
\(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮19\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮\left(17,19\right)=323\)(đpcm)
a) Ta có : n3 + 3n2 + 2n
= n(n2 + 3n + 2)
= n(n + 1)(n + 2) \(⋮\)6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (đpcm)
b) A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + .... + 295 + 296 + 297 + 298 + 299
= (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 25(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + ... + 295(1 + 2 + 22 + 23 + 24)
= 31 + 25.31 + .. + 295.31
= 31(1 + 25 + ... + 295) \(⋮31\)(đpcm)
c) Ta có 49n + 77n - 29n - 1
= (49n - 1) + (77n - 29n)
= (49 - 1)(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1) + (77 - 29)(77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1)
= 48(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1) + 48(77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1)
= 48(49n - 1 - 49n - 2 + .... - 1 + 77n - 1 - 77n - 2.29 + 77n- 3.292 - .... - 1) \(⋮\)48 (đpcm)
Nhận thấy : \(323=17.19\)và ƯCLN ( 17 ; 19 ) = 1 nên ta chứng minh \(\left(20^n-1+16^n-3^n\right)\)\(⋮\)\(17\)và \(19\)
Ta có :
\(20^n-1⋮\left(20-1\right)=19;16^n-3^n⋮\left(16+3\right)=19\)( vì n chẵn ) (1)
Mặt khác :
\(\left(20^n+16^n+3^n+1=20^n-3^n+16^n-1\right)\)
Và \(20^n-3^n⋮\left(20-3\right)=17;16^n-1⋮\left(16+1\right)=17\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
a) Sử dụng định lí Fermat nhỏ: Với mọi \(n\inℕ\), \(p\ge2\)là số nguyên tố. Ta luôn có \(n^p-n⋮7\)
Dễ thấy 7 là số nguyên tố. Do đó \(n^7-n⋮7\)
Có thể sự dụng pp quy nạp toán học hay biến đổi đẳng thức rồi sử dụng pp xét từng giá trị tại 7k+n với 7>n>0
b)Ta có: \(2n^3+3n^2+n=2n^3+2n^2+n^2+n\)
\(=n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
Ta thấy n(n+1) chia hết 2. Chỉ cần chứng minh thêm đằng thức trên chia hết cho 3
Đặt n=3k+1 và n=3k+2. Tự thế vài và CM
c) Tương tự: \(n^5-5n^3+4n=n^3\left(n^2-1\right)-4n\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^3-4n\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n^2-4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
Sắp xếp lại cho trật tự: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Dễ thấy đẳng thức trên chia hết cho 5
Mà ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)
Và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮4\)
Và tích của hai số bất kì cũng chia hết cho 2
Vậy đẳng thức trên chia hết cho 3.4.2.5=120
Cậu cuối bn chứng minh cách tương tự. :)
\(323=17.19\)
+) \(20^n+16^n-3^n-1=\left(20^n-1\right)+\left(16^n-3^n\right)\)
\(20^n-1=20^n-1^n⋮\left(20-1\right)=19\)
\(16^n-3^n⋮\left(16+3\right)=19\) (vì n chẵn)
\(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮19\)
+) \(20^n+16^n-3^n-1=\left(20^n-3^n\right)+\left(16^n-1\right)\)
\(20^n-3^n⋮\left(20-3\right)=17\)
\(16^n-1=16^n-1^n⋮\left(16+1\right)=17\) (vì n chẵn)
\(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮17\)
Mà \(\left(17,19\right)=1\)
\(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮\left(17.19\right)=323\)
thank you