NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
1
20 tháng 11 2016
Giả sử n < m => n = (2k + 1)2, m = (2k + 3)2
Ta có: mn - m - n + 1 = (mn - m) - (n - 1)
= (n - 1)(m - 1) = [(2k + 1)2 - 1][(2k + 3)2 - 1]
= 2k(2k + 2)(2k + 2)(2k + 4)
= 16.k(k + 1)2 (k + 2)
* Chứng minh chia hết cho 64
Với k chẵn thì k và (k + 2) chia hết cho 2
=> 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64
Với k lẻ thì (k + 1) chia hết cho 2
=> 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64
Vậy 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết cho 64 (1)
* Chứng minh chia hết cho 3
Ta có k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với việc 64, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì ta có 16.k(k + 1)2 (k + 2) chia hết 64.3 = 192
Hay mn - m - n + 1 chia hết cho 192
HN
0
27 tháng 4 2020
Nếu m=n ta có đpcm
Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)
Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)2=k(4xy+1)
<=> x2-2(2x-1)xy+y2-k=0 (*)
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1. Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)
Nếu x1>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> x1>|y| => y2-k=xx1 > |y|2=y2 => k<0 => x1+x2=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)
Nếu x1<0 thì xx1=y2-k<0 => k>y2 => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:
k=x12-2(2k-1)x1y+y2=x12+2(2k-1)|x1|y+y2> 2(2k-1) |x1|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m2-n2+1| là số chính phương
8 tháng 8 2020
nếu m=n thì ta có đpcm
xét m khác n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x,y\in Z,x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x-y=n\end{cases}}\)do đó m,n>0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow x>\left|y\right|}\)
do \(n^2-1⋮\left|m^2-n+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮m^2-n^2+1\)
\(\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
thay m=x+y; n=x-y ta có \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+y^2-k=0\)(*)
phương trình (*) có 1 nghiệm của x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1 theo hệ thức Vi-et ta có
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}}\Rightarrow x_1\inℤ\)
nếu x1>0 thì (x1;y) là một cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> \(x_1>\left|y\right|\Rightarrow y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x=2\left(2k-1\right)< 0\)mâu thuẫn
nếu x1<0 thì \(xx_1=y^2-k< 0\Rightarrow k>y^2\Rightarrow k>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)ta có
\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)mâu thuẫn
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên m2-n2+1 là số chính phương
5 tháng 1 2020
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
VH
24 tháng 5 2015
À lộn n+m = số chẵn mà nếu số đó cộng nó nhân hai bằng n còn nếu nó trừ nó nhân ba bằng m
18 tháng 12 2021
Bài 1
Ta có :A=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+42
=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+42
Đặt x2+5xy+5y2=t (t thuộc Z)
Khi đó A=(t-1)(t+1)+42
A=t2-12+42
A=(x2+5xy+5y2)2-12+42
Vì x, y thuộc Z suy ra x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2thuộc Z
Suy ra x2+5xy+5y2 thuộc Z
Suy ra (x2+5xy+5y2)2 là số chính phương
Ta lại có 12 và 42 cũng là số chính phương
Suy ra A là số chính phương (đpcm)
Câu 1 đây bạn nhé. Mình ko chắc là nó đúng 100% đâu.