Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. \(\frac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha-sin\alpha}=\frac{1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3\)
2. \(cos\beta=2sin\beta\Rightarrow cos^2\beta=4sin^2\beta\). Do \(cos^2\beta+sin^2\beta=1\Rightarrow5sin^2\beta=1\Rightarrow sin\beta=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow cos\beta=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Vậy \(sin\beta.cos\beta=\frac{2}{5}\)
3. a. Nhân chéo ra được hệ thức \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
b. Chú ý \(cot^2\alpha=\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\)
Lời giải:
a)
\(\cos ^2a+\cos ^2b+\cos ^2a\sin ^2b+\sin ^2a\)
\(=(\cos ^2a+\sin ^2a)+\cos ^2b+\cos ^2a\sin ^2b\)
\(=1+1-\sin ^2b+\cos ^2a\sin ^2b\)
\(=2-\sin ^2b(1-\cos ^2a)=2-\sin ^2b\sin ^2a\)
b)
\(2(\sin a-\cos a)^2-[(\sin a+\cos a)^2+\sin a\cos a]\)
\(=2(\sin ^2a-2\sin a\cos a+\cos ^2a)-[\sin ^2+2\sin a\cos a+\cos ^2a+\sin a\cos a]\)
\(=2(1-2\sin a\cos a)-(1+3\sin a\cos a)\)
\(=1-7\sin a\cos a\)
c)
\((\tan a-\cot a)^2-(\tan a+\cot a)^2\)
\(=\tan ^2a+\cot ^2a-2\tan a\cot a-(\tan ^2a+\cot ^2a+2\tan a\cot a)\)
\(=-4\tan a\cot a=-4\)
Trước tiên ta chứng minh công thức sau:
\(\cot\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A}\)
Xét ΔABC vuông tại A; CD là phân giác góc C
=> \(\cot ACD=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}\text{ (do t/c phân giác) }=\frac{AC+BC}{AD+BD}=\frac{AC+BC}{AB}\)
\(=\frac{1+\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{1+\cos C}{\sin C}\text{ (đpcm).}\)
\(\Rightarrow\cot\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A}\text{ (đối với góc A nhọn)}\)
*Áp dụng vào bài,
Ta có: M thuộc đường tròn đường kính AB => ΔMAB vuông tại M
\(\Rightarrow\cot\beta=\cot\frac{B}{2}=\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{1+\frac{MB}{AB}}{\frac{MA}{AB}}=\frac{AB+y}{x}=\frac{2R+y}{x}\)
Tương tự: \(\cot\alpha=\frac{2R+x}{y}\)
\(\Rightarrow x\left(\cot\beta-1\right)+y\left(\cot\alpha-1\right)=x\left(\frac{2R+y}{x}-1\right)+y\left(\frac{2R+x}{y}-1\right)\)
\(=2R+y-x+2R+x-y=4R\)