Câu hỏi của Time Lord

Question

cho m thuộc N* A=111...11(2m số 1)

B=111...1(m+1 số 1)

C=666..6(m số 6)

CMR A+B+C+8 là số chính phương

làm đc thì làm ko bình luận

Mr Lazy · Accepted Answer

$A=\frac{10^{2m}-1}{9};B=\frac{10^{m+1}-1}{9};C=6.\frac{10^m-1}{9}$

$A+B+C+8=\frac{10^{2m}-1+10^{m+1}-1+6.\left(10^m-1\right)+72}{9}$

$=\frac{10^{2m}+16.10^m+64}{9}=\frac{\left(10^m+8\right)^2}{9}=\left(\frac{10^m+8}{3}\right)^2$

Do 1 + 0 + 0 +... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 3 nên $\frac{10^m+8}{3}\in Z$

Vậy A+B+C+8 là số chính phương.

Câu trả lời:

$A=\frac{10^{2m}-1}{9};B=\frac{10^{m+1}-1}{9};C=6.\frac{10^m-1}{9}$

$A+B+C+8=\frac{10^{2m}-1+10^{m+1}-1+6.\left(10^m-1\right)+72}{9}$

$=\frac{10^{2m}+16.10^m+64}{9}=\frac{\left(10^m+8\right)^2}{9}=\left(\frac{10^m+8}{3}\right)^2$

Do 1 + 0 + 0 +... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 3 nên $\frac{10^m+8}{3}\in Z$

Vậy A+B+C+8 là số chính phương.