K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 11 2019
Lời giải:
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow 5m^2+m=5n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow 5(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)
\(\Leftrightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^2\)
Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $5m+5n+1$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 5m+5n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(5m+5n+1)\vdots d^2\\ 5(m-n)+(5m+5n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 10m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Vậy $m-n, 5m+5n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 5m+5n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).
PN
3 tháng 4 2016
Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:
\("\) Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và \(a.b\) là một số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là các số chính phương \("\)
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+m-5n^2-n=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\) \(\left(\text{*}\right)\)
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m-n\) và \(5m+5n+1\) \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:
\(m-n\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(5\left(m-n\right)\) chia hết cho \(d\)
\(5m+5n+1\) chia hết cho \(d\)
nên \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\) chia hết cho \(d\)
\(\Leftrightarrow\) \(10m+1\) chia hết cho \(d\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được: \(m^2\) chia hết cho \(d^2\)
Do đó, \(m\) chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(10m\) chia hết cho \(d\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\), ta có \(1\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(d=1\)
Do đó, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \(\left(\text{*}\right)\) và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm
Vậy, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) đều là các số chính phương.
CM
13 tháng 3 2018
Ta có: m < n ⇒ -5m > -5n ⇒ 1 – 5m > 1 – 5n (3)
3 > 1 ⇒ 3 – 5m > 1 – 5m (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 3 – 5m > 1 – 5n
20 tháng 11 2019
Ta có :
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 9 2021
4m2+m=5n2+n
{=}5m2+m=5n2+n+m2
{=}5(m2-n2)+(m-n)=m2
{=}(m-n)(5m+5n+1)=m2
K
1
18 tháng 5 2020
a, Ta có m<n
⇔m+3 < n+3 (t/c)
b, Ta có m<n
⇔-3m>-3n(t/c)
c, Ta có m<n
⇔4m < 4n (t/c)
⇔4m-7 <4n-7 (t/c)
d, Ta có m<n
⇔-5m > -5n (t/c)
⇔-5m+10> -5n+10(t/c)
Hay 10-5m > 10-5n
chúc bạn học tốt !
VT
23 tháng 4 2017
5m+2 và 5n+2 cùng thêm một lượng như nhau là 2 mà m>n nên 5m>5n \(\Rightarrow\)5m+2>5n+2
DL
23 tháng 4 2017
5m+2>5n+2
=>(m*5)+2>(n*5)+2
=> m*5>n*5
mà m>n nên 5m chắc chắn lớn hơn 5n
26 tháng 10 2015
4m2+m=5m2+n suy ra m= 5m2+n-4m2= m2+n
ta có m-n
m2+n -n=m2 là một số chính phương
Ta có:
m > n
\(\Rightarrow\) 5m > 5n
mà 1 > -4
\(\Rightarrow\) 5m + 1 > 5n - 4
Chúc bạn học tốt!!! ngoc do
cảm ơn nhìu nh!