Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thuyết ta đc x+y=0 thì =>x^2015+y^2015=(x+y)(...)=0
cái đoạn x+y=0 bạn xem mấy bài đăng khác ấy!:>>
Ta có (x + |x| + 2016)(y + |y| + 2016) > 2016 với mọi x, y nên không thể tính được P
Bài 1
Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:
\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)
\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)
\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)
\(=2014\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)
Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)
Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)
Bài 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)
Ta có : \(xy+\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\sqrt{2015}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=2015\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+x^2\right)+\left(x^2y^2+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=2014\)
\(\Leftrightarrow\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2=2014\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2014}\)(vì \(x,y>0\))
Vậy \(A=\sqrt{2014}\)
Có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4\) (Vì xy = 1)
\(\Rightarrow|x+y|\ge2\)
Dấu "=" xả ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)
Xét x = y = 1 ta được:
\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.1^{2016}+4.1}-2\right)^{2017}-\frac{1^{2015}}{1^{2016}}\)
\(M=\frac{3}{4}\)
Xét x = y = -1 ta được:
\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.\left(-1\right)^{2016}+4.\left(-1\right)}\right)^{2017}-\frac{\left(-1\right)^{2015}}{\left(-1\right)^{2016}}\)
\(M=\frac{7}{4}+3^{2017}\)
Vậy với \(xy=1\)và \(|x+y|\)đạt giá trị nhỏ nhất thì M nhận 2 giá trị là \(\orbr{\begin{cases}M=\frac{3}{4}\\M=\frac{7}{4}+3^{2017}\end{cases}}\)
Có |x+y| lớn hơn hoặc bằng
|x|+|y| dấu bằng sảy ra <=>
xy lớn hơn hoặc bằng 0
mà xy=1 => |x+y|=|x|+|y| (1)
Ta lại có:|x|+|y|-2\(\sqrt{xy}=\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)Lớn hơn hoặc bằng 0
=>|x|+|y| lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{xy}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
=>|x+y| lớn hơn hoặc bằng 2
=>MIN |x+y|=2
Dấu bằng sảy ra
<=>|x+y|=2
Hay |x|+|y|=\(2\sqrt{xy}\)
=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)
=>\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y\)
Mà |x+y|=2
TH1: x+y=2=>x=y=1
Thay vào M ta tính được M=3/4
TH2:x+y=-2 => x=y=-1
Thay vào M ta được
M=3/4
Vậy: M=3/4
Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{x^2+2015}\ne0\\2y-\sqrt{4y^2+2015}\ne0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow2015\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow2y+x=\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{4y^2+2015}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(x+2y=\sqrt{4y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
\(2x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-2y\)
Thế vào B ta được:
\(B=\dfrac{\left(-2y\right)^2}{2}+4.\left(-2y\right)y+3y^2+\left(-2y\right)+3y+15\)
\(=-3y^2+y+15\)
\(=\dfrac{181}{12}-\left(\sqrt{3}y-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\le\dfrac{181}{12}\)
ta lần lượt nhân từng biểu thức liên hợp của: \(\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)và\left(y+\sqrt{y^2+2015}\right)\)
ta được hệ pt:
\(-\left(y+\sqrt{y^2+2015}\right)=x-\sqrt{x^2+2015}và-\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)=y-\sqrt{y^2+2015}\)
rồi giải ra