Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Bài 1a:
Ta thấy vế trái là số tự nhiên với mọi $x,y\in\mathbb{N}^*$. Do đó $\sqrt{9x^2+16x+32}\in\mathbb{N}^*$
Điều này xảy ra khi \(9x^2+16x+32\) là số chính phương.
Đặt \(9x^2+16x+32=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Leftrightarrow 81x^2+144x+288=9t^2\)
\(\Leftrightarrow (9x+8)^2+224=(3t)^2\Leftrightarrow (3t-9x-8)(3t+9x+8)=224\)
Hiển nhiên $3t+9x+8>0; 3t+9x+8>3t-9x-8$ với mọi $x,t\in\mathbb{N}^*$ và $3t+9x+8; 3t-9x-8$ cùng tính chẵn lẻ.
Do đó \((3t+9x+8; 3t-9x-8)=(16;14); (28;8); (56;4); (112;2)\)
Thử các TH trên ta thu được $x=2$ là kết quả duy nhất thỏa mãn
Thay vào PT ban đầu suy ra $y=\frac{-7}{4}$ (vô lý)
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Bài 1b:
ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-1}{3}\)
PT \(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x+1-\sqrt{3x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x-\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0(*)\end{matrix}\right.\)
Xét $(*)$
\(\Leftrightarrow 4x^2+x+4x+1+2-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x(4x+1)+(4x+1)+\frac{2\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)(x+1)+\frac{3(4x+1)}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)\left[(x+1)+\frac{3}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}\right]=0\)
Với mọi $x\geq \frac{-1}{3}$ dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Do đó $4x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{4}$ (thử lại thấy t/m)
Vậy \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{4}\)
Bài 2:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)
=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2
=>x=1/4; y=-2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
=>y=6 và x-2=5/4
=>x=13/4; y=6
c: =>x+y=24 và 3x+y=78
=>-2x=-54 và x+y=24
=>x=27; y=-3
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)
=>y+2=1 và x-1=25
=>x=26; y=-1
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Việt Lâm, @No choice teen, @Trần Thanh Phương, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! Cần gấp!
thanks nhiều!
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(4a+4b\right)=a+b\)
Ta chứng minh: \(3\left(a+b\right)^2+4ab\ge2\left(a+b\right)\)
hay \(3\left(a+b\right)^2+4ab\ge2\left(a+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)^2\ge0\)( đúng)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
*Công thức: Biến đổi x theo y và ngc lại và dùng các quy tắc.
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng 2 pt ta đc: x=1
Thay vào (1):\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
Vậy (x;y)\(=\left(1;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)
Những câu sau làm ttự.
#Walker
ủa nhưng khi thay x,y vào phương trình đầu tiên thì kết quả không bằng 1 ?
Bài 1:
a: \(=\dfrac{1}{mn^2}\cdot\dfrac{n^2\cdot\left(-m\right)}{\sqrt{5}}=\dfrac{-\sqrt{5}}{5}\)
b: \(=\dfrac{m^2}{\left|2m-3\right|}=\dfrac{m^2}{3-2m}\)
c: \(=\left(\sqrt{a}+1\right):\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)}=\dfrac{-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)^2}=\dfrac{-1}{a-1}\)
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)