Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hai tam giác AMC và DHE đồng dạng vì hai tam giac vuông và có góc A = góc D (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Tam giác DHE đồng dạng với tam giác AME vì hai tam giác vuông có hai góc đối đỉnh
=> Tam giác AMC và AME đồng dạng, mà có chung cạnh AM nên hai tam giác bằng nhau => CM = EM
Tương tự cũng chứng minh đc AM = MF
=> ACFE là hình bình hành (có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đương)
Mà hai đường chéo vuông góc với nhau => ACFE là hình thoi
Có 2 tam giác vuông \(\Delta ABE=\Delta ADF\) vì \(AB=AD\) và \(\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\) cùng phụ với \(\widehat{DAE}\)
Suy ra tam giác AEF vuông cân và \(ME=MA=MF\Rightarrow AM\perp EF\)
Ta có \(\overrightarrow{MA}=\left(2;-4\right)\), đường thẳng EF đi qua M có phương trình :
\(2\left(x+4\right)-4\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+8=0\)
Bây giờ tìm tọa độ các điểm E, F thỏa mãn ME=MA=MF. Gọi T(x;y) thuộc đường thẳng EF, thì x=2t-8; y=t, \(t\in R\)
Khi đó \(MT=MA\Leftrightarrow\left(2t-8+4\right)^2+\left(1-2\right)^2=2^2+\left(-4\right)^2=20\)
\(\Leftrightarrow5\left(t-2\right)^2=20\Leftrightarrow t\left(t-4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}t=0\\t=4\end{cases}\)
Như vậy có 2 điểm \(t_1\left(-8;0\right);t_2\left(0;4\right)\) ( Chính là 2 điểm E và F) thuộc đường thẳng EF mà \(MT_1=MA\)
- Trường hợp \(E\left(-8;0\right);F\left(0;4\right)\). Do F thuộc đường thẳng CD nên đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{KF}=\left(3;4\right)\) làm vec tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng CD là \(\begin{cases}x=3t\\y=4+4t\end{cases}\) (\(t\in R\)).
Khi đó \(D\left(3t;4+4t\right)\)
Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{KF}.\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow3\left(3t+6\right)+4\left(-2+4t\right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right)\)
- Trường hợp \(F\left(-8;0\right);E\left(0;4\right)\), đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{FK}=\left(5;0\right)\) làm vec tơ chỉ phương
Phương trình CD : \(\begin{cases}x=-8+5t\\y=0\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)
Khi đó \(D\left(-8+5t;0\right)\)
Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{FK}.\overrightarrow{AD}=0\Leftrightarrow5\left(-2+5t\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-6;0\right)\)
Chứng minh:
Xét trường hợp \(\Delta\)ABC nhọn và ^MBC > ^MCA (các trường hợp khác chứng minh tương tự)
Khi đó D thuộc tia đối của tia BA, E và F tương ứng nằm trên cạnh BC, CA.
Vì các tứ giác MDBE, ABMC và MCFE nội tiếp nên ^MED = ^MBD = ^ACM = 180o - ^MEM
=> ^MED + ^MEF = 180o <=> ^DEF = 180o.
Vậ D, E, F thẳng hàng (đpcm)
P/s: Bài toán trên theo mình nhớ không lầm thì là đường thẳng sim sơn