Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi K là giao của MN và CD
Ta có: \(\widehat{BMN}=\widehat{MTD}\)(so le trong và MN//AP) và \(\widehat{MTD}=\widehat{APD}\) (đồng vị và MN//AP)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{APD}\)
Xét \(\Delta BMN\)và \(\Delta DPA\)có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{MBN}=\widehat{PDA}\left(=90^o\right)\\\widehat{BMN}=\widehat{APD}\left(cmt\right)\end{cases}}\)
=> \(\Delta BMN~\Delta DPA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DA}\Rightarrow\frac{BM}{BN}=\frac{DP}{DA}\)
Mà \(BM=\frac{AB}{2},DA=BD\sin\widehat{ABD}=\frac{\sqrt{2}BD}{2}=\sqrt{2}OB\)
Do đó: \(\frac{\frac{\sqrt{2}OD}{2}}{BN}=\frac{DP}{\sqrt{2}OB}\Rightarrow\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\)
Xét \(\Delta DOP\)và \(\Delta BNO\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{ODP}=\widehat{NBO}\left(=45^o\right)\\\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\end{cases}\Rightarrow\Delta DOP~\Delta BNO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{DOP}=\widehat{BNO}}\)
Mà \(\widehat{DON}=\widehat{BNO}+\widehat{OBN}=\widehat{BNO}+45^o\)
Và \(\widehat{DON}=\widehat{DOP}+\widehat{NOP}\)
Do vậy \(\widehat{NOP}=45^o\)
2. Ta có \(\frac{OP}{ON}=\frac{OD}{BN}\left(\Delta DOP~\Delta BNO\right)\)
Nên \(\frac{OP}{ON}=\frac{OB}{BN}\Rightarrow\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\)
Xét \(\Delta OPN\)và \(\Delta BQN\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{PON}=\widehat{OBN}\left(=45^o\right)\\\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\end{cases}\Rightarrow\Delta OPN~\Delta BON\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{OPN}=\widehat{BON}}\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP
Ta có \(\widehat{ION}=\frac{180^o-\widehat{OIN}}{2}=90^o-\widehat{OPN}=\widehat{BOC}-\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
=> 2 tia OI,OC trùng nhau
Vậy I thuộc OC
a) Xét \(\Delta\)NKD và \(\Delta\)MKC: ^NKD = ^MKC (Đối đỉnh); ^DNK = ^CMK (Cùng chắn cung CD)
=> \(\Delta\)NKD ~ \(\Delta\)MKC (g.g) (đpcm).
b) Ta thấy: N là điểm chính giữa của cung AD => \(\Delta\)AND cân tại N => ^NAD = ^NDA
Tứ giác CAND nội tiếp đường tròn (O) => ^NAD = ^NCD; ^NDA = ^NCA.
Mà ^NAD=^NDA (cmt) => ^NCD = ^NCA => CN là phân giác ^ACD.
Tương tự ta chứng minh được: DM là phân giác ^ADC
Do DM giao CN tại K nên K là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)CAD => AK là phân giác ^CAD
Hay AE là phân giác ^CAD => ^CAE = ^DAE.
Xét tứ giác ACED nội tiếp (O) => ^CAE = ^CDE; ^DAE = ^DCE
=> ^CDE = ^DCE => \(\Delta\)DEC cân tại E => EC=ED. Mà CD là dây cung của (O)
=> OE vuông góc CD (đpcm).
c) Ta thấy ^CKM là góc ngoài của \(\Delta\)CKD => ^CKM = ^KCD + ^KDC = 1/2 (^ACD + ^ADC) (1)
Ta có: ^MCK = ^ACM + ^ACK. Mà ^ACM = ^ADM (Cùng chắn cung AM) => ^MCK = ^ADM + ^ACK
=> ^MCK = 1/2(^ADC + ^ACD) (2)
Từ (1) và (2) => ^CKM = ^MCK => \(\Delta\)CMK cân tại M => MC=MK=MA
=> M nằm trên trung trực của AK
Lập luận tương tự: NA=NK => N nằm trên trung trực của AK
=> MN là đường trung trực của AK . Lại có H thuộc MN
=> ^NKH = ^NAH. Mà ^NAH = ^NMC (=^NAC) nên ^NKH = ^NMC.
Xét \(\Delta\)NHK và \(\Delta\)NCM: ^NKH = ^NMC; ^MNC chung => \(\Delta\)NHK ~ \(\Delta\)NCM (g.g)
\(\Delta\)AHK cân tại H => ^HAK = ^HKA. Do AK là phân giác ^CAD => ^HAK = ^KAD
=> ^HKA = ^KAD. Vì 2 góc này so le trg nên HK // AD (đpcm).
d) Nhận xét: \(\Delta\)AMK có AM=KM (cmt)
=> \(\Delta\)AMK là tam giác đều khi ^AMK=600 hay ^AMD=600
Mà ^AMD = ^ACD (Cùng chắn cung AD) => Để \(\Delta\)AMK đều khi ^ACD=600
Vậy 2 điểm C và D di động trên đường tròn (O) sao cho ^ACD=600 thì \(\Delta\)AMK là tam giác đều.
DC = DA
OA = OC
Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC
Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ
Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp
+) Ta có: DP // AB => ^APD = ^BAP (2 góc so le trong). Mà ^BAP = ^NMB (Do MN // AP)
Nên ^APD = ^NMB => \(\Delta\)ADP ~ \(\Delta\)NBM (g.g) => \(\frac{AD}{NB}=\frac{DP}{BM}\)=> \(AD.BM=NB.DP\)
Hoặc \(AB.BM=NB.DP\)=> \(OB^2=NB.DP\)(Do \(AB.BM=\frac{AB^2}{2}=OB^2\)theo ĐL Pytago)
Hay \(OB.OD=NB.DP\)=> \(\frac{OB}{DP}=\frac{NB}{OD}\)
Xét \(\Delta\)BNO và \(\Delta\)DOP có: ^OBN = ^PDO (=450) \(\frac{OB}{PD}=\frac{NB}{OD}\)(cmt)
=> \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (c.g.c) (đpcm).
+) \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP (cmt) => ^BON = ^DPO (1)
Trong \(\Delta\)ODP có: ^DOP + ^DPO = 1800 - ^ODP = 1350 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^DOP + ^BON = 1350 => ^NOP = 1800 - (^DOP + ^BON) = 450
Vậy ^NOP = 450.