Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học Euclid. Hãy đi từng phần một để giải quyết từng yêu cầu.
**a) Chứng tỏ rằng AM.BN = AD.MB:**
Trong tam giác DMN, do AM song song với ND (do M thuộc AB), ta có tỉ số đồng dạng:
\[ \frac{AM}{AD} = \frac{MN}{ND} \]
Trong tam giác MBN, do AN song song với MD, ta có tỉ số đồng dạng:
\[ \frac{BN}{MB} = \frac{ND}{MN} \]
Nhân hai tỉ số trên với nhau:
\[ \frac{AM}{AD} \cdot \frac{BN}{MB} = \frac{MN}{ND} \cdot \frac{ND}{MN} \]
\[ \frac{AM \cdot BN}{AD \cdot MB} = 1 \]
\[ AM \cdot BN = AD \cdot MB \]
**b) Chứng minh tam giác DMK vuông cân:**
Vì \( Dx \) là đường cao trong tam giác \( DMN \) và \( Dx \) vuông góc với \( DN \), nên \( DK \) là đường cao của tam giác \( DMN \).
Do đó, tam giác \( DMK \) là tam giác vuông tại \( K \).
Đồng thời, vì \( DM = DM \) nên tam giác \( DMK \) cũng là tam giác cân.
**c) Chứng minh \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi:**
Để chứng minh \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi, chúng ta có thể sử dụng định lí Ptolemy trong tứ giác DMNK:
Theo định lí Ptolemy:
\[ DN \cdot MK + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
Do tam giác \( DMK \) là tam giác vuông cân, ta có \( DM = MK \).
Thay \( MK \) bằng \( DM \):
\[ DN \cdot DM + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
\[ DM \cdot (DN + NK) = DK \cdot MN \]
\[ DM \cdot DN + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
\[ DK \cdot MN = DM \cdot (DN + NK) \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN + NK}{MN} \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN}{MN} + \frac{NK}{MN} \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{1}{DN} + \frac{1}{NK} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{NK^2} \]
Vì \( NK = DM \), nên:
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} - \frac{1}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]
\[ \frac{DK^2 - DM^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]
Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi.
không đổi.
Tam giác AMB đồng dạng với tam giác BMN ( Tự chứng minh )
Suy ra \(\frac{AM}{BM}=\frac{AD}{BN}\Rightarrow AM.BN=AD.BM\)
b) Ta chứng minh tam giác ADM bằng tam giác CDK
Rồi suy ra tam giác DMK cân
Mà DM vuông góc với DK
Nên tam giác DMK vuông cân
a)Hình như đề sai. phải là: \(\frac{KM}{KN}=\frac{DN}{DM}\Leftrightarrow\frac{KM}{KM+MN}=\frac{DN}{DN+NM}\Leftrightarrow\)đến đây để c/m đc thì phải c/m KM=DN
hình nè:
b) dễ dàng c/m tam giác AGB đồng dạng tam giác AEC
=> \(\frac{AG}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AB=AG.AC\)
đề câu này cũng sai. phải là: AB.AE=AD.AF hay là một tỉ số nào đó
theo chị em phải c/m tỉ số thứ 2 đó = CG.AC
=> cộng vào sẽ được AC(AG+CG)=AC ^2
đến đây chị chỉ giúp được vậy thôi. bài khó quá
B C A M H K N D O I
a) Xét tứ giác BHMK có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Khi đó hai đường chéo bằng nhau nên BM = HK.
b) Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, MK // AB nên MK là đường trung bình.
Vậy thì K là trung điểm BC.
Xét tứ giác BMCN có K là trung điểm hai đường chéo nên nó là hình bình hành.
Lại có MN vuông góc BC nên BMCN là hình thoi.
Dễ thấy rằng MK = AB/2 hay MN = AB.
Để hình thoi BMCN là hình vuông thì MN = BC hau AB = BC.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B thì BMCN là hình vuông.
c) Ta có BHMK là hình chữ nhật nên BM giao HK tại trung điểm mỗi đường.
Dễ thấy tứ giác ABNM có AB song song và bằng NM nên nó là hình bình hành.
Vậy nên BM giao AM tại trung điểm mỗi đoạn.
Từ đó ta có BM, HK, AN đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.
d) Gọi giao điểm của BM, HK và AN làO, giao của BM và AK là I.
Ta có: do KM // AB, áp dụng Talet:
\(\frac{IM}{BI}=\frac{MK}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{BO+OI}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{IM+OI+OI}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow IM=2OM\)
Áp dụng Talet cho tam giác AND và ADC ta có:
\(\frac{OI}{DN}=\frac{AI}{AD}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow\frac{OI}{DN}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow DC=2ND\)