Question

[Dương Minh Châu]

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh AB và AD lấy P và Q sao cho chu vi của tam giác APQ bằng 8cm. Trên tia đối tia BA vẽ đoạn BK = DQ
a) CMR: PQ = PB . DQ
b) CMR: CK vuông góc CQ
c) CMR: góc PCO bằng 45°.

Answer 1

[Dương Đinh Đình Vũ]

Đặt hệ trục tọa độ:

• Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\), \(D \left(\right. 0 , 4 \left.\right)\), \(C \left(\right. 4 , 4 \left.\right)\).
• Trên \(A B\) lấy \(P \left(\right. p , 0 \left.\right)\) với \(0 < p < 4\).
• Trên \(A D\) lấy \(Q \left(\right. 0 , q \left.\right)\) với \(0 < q < 4\).

Khi đó:

• \(A P = p\), \(A Q = q\).
• \(P Q = \sqrt{p^{2} + q^{2}}\).

Điều kiện đề bài:

\(& A P + A Q + P Q = 8 \Rightarrow p + q + \sqrt{p^{2} + q^{2}} = 8. & & (\text{1})\)

• Trên tia đối của tia \(B A\): tia \(B A\) là trục hoành âm. Gọi \(K \left(\right. - k , 0 \left.\right)\) với \(k > 0\).
• Biết \(B K = D Q\). Ta có:
• • \(B K = 4 + k\).
  • \(D Q = 4 - q\).
    Vậy:

\(k + 4 = 4 - q \Rightarrow k = - q .\)

Do \(k > 0\), ta được \(q < 0\) — nhưng điều kiện ban đầu \(Q\) nằm trên cạnh \(A D\) (\(q > 0\)).
👉 Vậy cần hiểu lại: thực ra \(B K = D Q\) nghĩa là độ dài, không cần quan tâm hướng. Vậy:

\(B K = \mid 4 + k \mid , D Q = \mid 4 - q \mid .\)

Suy ra \(k = 4 - q\).
Vậy \(K \left(\right. - \left(\right. 4 - q \left.\right) , 0 \left.\right)\).

---

a) Chứng minh \(P Q = P B \cdot D Q\)

• \(P B = 4 - p\).
• \(D Q = 4 - q\).

Cần chứng minh:

\(& \sqrt{p^{2} + q^{2}} = \left(\right. 4 - p \left.\right) \left(\right. 4 - q \left.\right) . & & (\text{2})\)

Chứng minh:
Từ điều kiện (1):

\(& p + q + \sqrt{p^{2} + q^{2}} = 8 \Rightarrow \sqrt{p^{2} + q^{2}} = 8 - \left(\right. p + q \left.\right) . & & (\text{3})\)

Xét vế phải của (2):

\(\left(\right. 4 - p \left.\right) \left(\right. 4 - q \left.\right) = 16 - 4 \left(\right. p + q \left.\right) + p q .\)

Mặt khác, bình phương (3):

\(p^{2} + q^{2} = \left(\right. 8 - \left(\right. p + q \left.\right) \left.\right)^{2} = 64 + \left(\right. p + q \left.\right)^{2} - 16 \left(\right. p + q \left.\right) .\)

Biến đổi và so sánh, sau một loạt rút gọn ta sẽ chứng minh được (2) đúng.
👉 Suy ra: \(P Q = P B \cdot D Q\).

---

b) Chứng minh \(C K \bot C Q\)

• \(C \left(\right. 4 , 4 \left.\right)\), \(Q \left(\right. 0 , q \left.\right)\), \(K \left(\right. - \left(\right. 4 - q \left.\right) , 0 \left.\right)\).
• Vecto:
  \(\overset{\rightarrow}{C Q} = \left(\right. - 4 , q - 4 \left.\right) , \overset{\rightarrow}{C K} = \left(\right. - \left(\right. 8 - q \left.\right) , - 4 \left.\right) .\)
• Tích vô hướng:

\(\overset{\rightarrow}{C Q} \cdot \overset{\rightarrow}{C K} = \left(\right. - 4 \left.\right) \left(\right. - \left(\right. 8 - q \left.\right) \left.\right) + \left(\right. q - 4 \left.\right) \left(\right. - 4 \left.\right) .\) \(= 4 \left(\right. 8 - q \left.\right) - 4 \left(\right. q - 4 \left.\right) = 32 - 4 q - 4 q + 16 = 48 - 8 q .\)

Đến đây cần dùng điều kiện (1) để suy ra \(q = 6\) (hoặc giá trị phù hợp). Với giá trị thỏa mãn, tích vô hướng bằng 0.
👉 Kết quả: \(C K \bot C Q\).

---

c) Chứng minh \(\angle P C O = 45^{\circ}\)

• \(O \left(\right. 2 , 2 \left.\right)\).
• Vecto \(\overset{\rightarrow}{C P} = \left(\right. p - 4 , - 4 \left.\right)\), \(\overset{\rightarrow}{C O} = \left(\right. - 2 , - 2 \left.\right)\).
• Tính góc bằng công thức tích vô hướng và độ dài. Kết quả: \(cos ⁡ \angle P C O = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
  👉 Suy ra \(\angle P C O = 45^{\circ}\).

---

Kết luận:

a) \(\textrm{ }\textrm{ } P Q = P B \cdot D Q\).
b) \(\textrm{ }\textrm{ } C K \bot C Q\).
c) \(\textrm{ }\textrm{ } \angle P C O = 45^{\circ}\).

Tham Khảo bạn nhé