Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do $ABCD$ là hình thoi nên:
\(\widehat{D_1}=\widehat{B_1}=180^0-\widehat{BAD}=30^0\) (2 góc trong cùng phía )
\(\widehat{F_1}=\widehat{BAE}=30^0\) (so le trong với \(AB\parallel CD\))
Do đó: \(\widehat{D_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow \triangle ADF\) cân tại $A$, suy ra $AF=AD=a(1)$
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$
Ta có: \(\frac{AH}{AB}=\sin \widehat{ABH}=\sin \widehat{B_1}=\sin 30^0=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)
\(\widehat{AEH}=\widehat{EAB}+\widehat{B_1}=30^0+30^0=60^0\)
\(\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\sin \widehat{AEH}=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AE=\frac{2AH}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{3}}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{a^2}\) (đpcm)
Kẻ AG⊥AF
Xét △ABE và △ADG có
\(\widehat{BAE}=\widehat{DAG}\) (cùng phụ góc DAF)
\(\widehat{ABE}=\widehat{ADG}=90^o\)
suy ra △ABE=△ADG
=> AE=AG(2 cạnh tương ứng)
Xét △AGF vuông tại A đường cao AD, Ta có:
\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AG^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
Xét tam giác AKD và tam giác ABE ta có:
\(\widehat{ADK}=\widehat{ABE}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{KAD}=\widehat{BAE}\) (cùng phụ \(\widehat{DAF}\)
=> \(\Delta AKD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AK}{AE}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{1}{2}AE\)
Xét tam giác AKF vuông tại A có đcao AD :
\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (HTL)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AB^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
\(\dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{4}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\)
\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\)
đoán đề là M thuộc BD hoặc M thuộc CD, nhưng M thuộc cái nào thì giải vẫn vậy thôi, do câu e) có liên quan nên đến đấy mới xét M, nhưng vẽ hình là M thuộc CD cho dễ nhìn nhé
a) Có: \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=90^0-\widehat{AEB}=90^0-\left(90^0-\widehat{EAB}\right)=\widehat{EAB}\)
Xét 2 tam giác vuông ADN và ABE có: AD=AB và ^NAD=^EAB => \(\Delta ADN=\Delta ABE\) (g-c-g) => \(AN=AE\)
Tam giác vuông AEN có AE=AN => AEN vuông cân tại A
b) Hình chữ nhật ABCD có BD là đường chéo => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ODN}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}=90^0\)\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}+\widehat{ADN}=180^0\)
=> B, D, O thẳng hàng
c) Có: \(\Delta MDA~\Delta ADN\) ( do \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ADN}=\widehat{MDA}=90^0\) )
=> \(\frac{AD}{AM}=\frac{DN}{AN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB}{AM}=\frac{DN}{AE}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB^2}{AM^2}=\frac{DN^2}{AE^2}\)
=> \(\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2}{AE^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2+AD^2}{AE^2}=\frac{AN^2}{AE^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}\) ( đpcm )
d) Tam giác AEN vuông cân tại A nên có OA là đường trung tuyến nên OA cũng là đường cao => \(OA\perp NE\)
e) từ câu c) ta có: \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{AM^2.AE^2}}=\frac{2}{AM.AE}\)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng với C(M thuộc CD) hoặc M là trung điểm của BD(M thuộc BD) (đã nói ở đầu bài)
A B C D K E F
a/ Ta có : góc KAD = góc EAB vì cùng phụ với góc DAE ; AD = AB
=> tam giác DAK = tam giác ABE (cgv.gnk)
=> AK = AE => tam giác AKE là tam giác cân
b/ Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông : \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\) không đổi