Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có CF vuông góc AB tại F (gt)
Nên góc CFB = 90 độ
BE vuông góc AC tại E
Nên góc BEC = 90 độ
Tứ giác CEFB có hai đỉnh kề F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông . Do đó tứ giác CEFB nt
Ta có góc BFC = 90(cmt) độ nên tam giác BFC vuông tại F .
góc BEC = 90 độ (cmt)
Nên tam giác BEC vuông tại E
Tam giác vuông BFC và BEC đều có BC là cạnh huyền nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của cạnh BC .
đề : Cho đoạn thẳng AB cùng điểm C thuộc đoạn thẳng đó (C khác A và B). Về cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm M cố định. Kẻ tia Cz vuông góc với tia CM tại C, tia Cz cắt tia By tại K. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt MK tại E
Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn : a+ b + c = 1 . CMR
\(\frac{a+1}{a+b+c}+\frac{b+1}{b+ac}+\frac{c+1}{c+ab}\ge9\)Dấu " = " xay ra khi nào
Giải chi tiết:
1) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp.
Xét (O;R)(O;R) ta có: AB,CDAB,CD là hai đường kính của hình tròn
⇒ADBC⇒ADBC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
⇒{AC=BDAD=BC⇒{AC=BDAD=BC (các cạnh đối).
Ta có: ∠ADB=900∠ADB=900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
⇒∠BDN=900(1)⇒∠BDN=900(1)
Ta có: ∠CMN∠CMN là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn các cung
BCBC và AB.AB.
⇒∠CMN=12(sdcungAB−sdcungCB)=12sdcungBD=12sdcungAC.(doAC=BD)⇒∠CMN=12(sdcungAB−sdcungCB)=12sdcungBD=12sdcungAC.(doAC=BD)
Lại có: ∠ADC∠ADC là góc nội tiếp chắn cung AC⇒∠ADC=12sdcungACAC⇒∠ADC=12sdcungAC
⇒∠ADC=∠CMN(=12sdcungAC).⇒∠ADC=∠CMN(=12sdcungAC).
⇒CDNM⇒CDNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (đpcm)
2) Chứng minh AC.AM=AN.AN.AC.AM=AN.AN.
Xét ΔACDΔACD và ΔANMΔANM ta có:
∠CADchung∠AMB=∠ADC(cmt)⇒ΔACD∼ΔANM(g−g)⇒ACAN=ADAM⇒AC.AM=AN.AD(dpcm).∠CADchung∠AMB=∠ADC(cmt)⇒ΔACD∼ΔANM(g−g)⇒ACAN=ADAM⇒AC.AM=AN.AD(dpcm).
3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. Chứng minh tứ giác AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quay quanh điểm O thì I di động trên đường nào?
Ta có I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác MCDN, H là trung điểm của MN
⇒IH⊥MN⇒IH⊥MN (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).
Mà AO⊥MNAO⊥MN (do AB là đường kính của đường tròn (O), MN là tiếp tuyến tại B của đường tròn)
⇒HI//AO(⊥MN)(1)⇒HI//AO(⊥MN)(1)
Mặt khác ta có ∠CAD=900∠CAD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒∠ACD+∠CDA=900⇒∠ACD+∠CDA=900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Xét ΔMANΔMAN có ∠MAN=900∠MAN=900, H là trung điểm của MN
⇒AH=12MN=MH⇒AH=12MN=MH (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
⇒ΔAHM⇒ΔAHM cân tại H (dhnb)
⇒∠MAH=∠HMA⇒∠MAH=∠HMA (hai góc kề đáy của tam giác cân).
Lại có : ∠ACD=∠CAB∠ACD=∠CAB (hai góc nội tiếp chắn hai cung AD, CB bằng nhau).
Mà : ∠AMH+∠CAB=900∠AMH+∠CAB=900 (tam giác ABM vuông tại B)
⇒∠MAH+∠ACD=900⇒ΔCAK⇒∠MAH+∠ACD=900⇒ΔCAK vuông tại K⇒CD⊥AH={K}.K⇒CD⊥AH={K}.
Lại có : OI⊥CDOI⊥CD (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒AH//OI(⊥CD).(2)⇒AH//OI(⊥CD).(2)
Từ (1) và (2) ta có : {AH//OIAO//HI⇒AOIH{AH//OIAO//HI⇒AOIH là hình bình hành (dhnb). (đpcm)
Ta có : HH là trung điểm của MN,M,NMN,M,N thuộc đườn thẳng xyxy cố định ⇒H⇒H là điểm di động trên đường xy.xy.
Vì AOIHAOIH là hình bình hành (cmt) ⇒AO=IH⇒AO=IH (hai cạnh đối)
Mà AO=RAO=R không đổi ⇒IH=R⇒IH=R không đổi.
⇒I⇒I là điểm di động trên đườgn thẳng song song với đường thẳng xy.xy.
4) Khi góc AHB bằng 600; Tính diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành khi hình bình hành AHOI quay quanh cạnh AH theo R.
Ta có : ∠AHB=600⇒∠OAH=300∠AHB=600⇒∠OAH=300
Khi quay hình bình hành AHIO một vòng quanh cạnh AH thì cạnh AO và cạnh HI tạo nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AO=IH=R.AO=IH=R.
Cạnh OI tạo nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình nón cũng như bán kính của hình tròn (O)(O) là R.R.
Gọi P, Q là tâm các đường tròn đáy của hình trụ.
Xét ΔAOPΔAOP ta có : ∠OPA=900,∠OAP=300.∠OPA=900,∠OAP=300.
⇒sin300=OPOA=OPR⇒OP=Rsin300=R2.⇒sin300=OPOA=OPR⇒OP=Rsin300=R2.
Xét ΔABHΔABH ta có : AH=ABtan600=2R√3=2R√33.AH=ABtan600=2R3=2R33.
Diện tích xung quanh hình trụ cần tính là : Sxq=2πrh=2π.OP.AH=2π.R2.2R√33=2πR2√33.
Vì AP//DN nên theo định lí Ta-lét ta có
\(\frac{CN}{BK}=\frac{CQ}{QK}=\frac{CD}{KP}\)
\(\Rightarrow CN.KP=CD.BK\)
1: Ta có: \(AM=MD=\dfrac{AD}{2}\)
\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)
mà AD=DC
nên AM=MD=DN=NC
Xét ΔADN vuông tại D và ΔBAM vuông tại A có
AD=BA
DN=AM
Do đó: ΔADN=ΔBAM
=>\(\widehat{AND}=\widehat{BMA}\)
=>\(\widehat{BMA}+\widehat{MAI}=90^0\)
=>AN\(\perp\)BM tại I
2: \(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)
ΔAMB vuông tại A
=>\(AM^2+AB^2=BM^2\)
=>\(BM=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2}=5\left(cm\right)\)
Xét ΔAMB vuông tại A có AI là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}MI\cdot MB=MA^2\\AI\cdot MB=AM\cdot AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}MI\cdot5=\left(\sqrt[]{5}\right)^2=5\\AI\cdot5=2\sqrt{5}\cdot5=10\end{matrix}\right.\)
=>MI=1(cm); AI=10/5=2(cm)
3: MI+IB=MB
=>IB+1=5
=>IB=4(cm)
ΔAIB vuông tại I
=>\(S_{AIB}=\dfrac{1}{2}\cdot AI\cdot IB=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot4=2\left(cm^2\right)\)
ΔADN vuông tại D
=>\(S_{ADN}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\left(cm^2\right)\)
ABCD là hình vuông
=>\(S_{ABCD}=AB\cdot AD=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=20\left(cm^2\right)\)
Ta có: \(S_{ABCD}=S_{AIB}+S_{ADN}+S_{NCBI}\)
=>\(S_{NIBC}+2+5=20\)
=>\(S_{NIBC}=13\left(cm^2\right)\)