Question

[JK]

Cho hình thoi ABCD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi giao điểm của AN và CM với BD lần lượt là H và K

a) Tứ giác AKHC là hình gì

b) chứng minh AC, BD, MN đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình thoi

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(CN=DN=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=CN=DN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM và AN=CM(2)

Xét ΔBAC có

BO,CM là các đường trung tuyến

CM cắt BO tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔABC

=>\(CK=\frac23CM\) (1)

Xét ΔACD có

AN,DO là các đường trung tuyến

AN cắt DO tại H

Do đó: H là trọng tâm của ΔACD

=>\(AH=\frac23AN\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra CK=AH

Xét tứ giác AHCK có

AH//CK

AH=CK

Do đó: AHCK là hình bình hành

b: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

=>AC,BD,MN đồng quy tại O

Answer 2

[Dương Đinh Đình Vũ]

a) Chứng minh tứ giác \(A K H C\) là hình thoi

• Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\). Trong hình thoi, \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\), đồng thời \(A C \bot B D\).
• Xét tam giác \(A B C\), có \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(O\) là trung điểm của \(A C\). Suy ra:

\(O M \parallel B C \left(\right. đườ n g t r u n g b \overset{ˋ}{\imath} n h \left.\right) .\)

• Xét tam giác \(A C D\), có \(N\) là trung điểm của \(C D\), \(O\) là trung điểm của \(A C\). Suy ra:

\(O N \parallel A D .\)

• Mà \(A D \parallel B C\) (tính chất hình thoi), do đó:

\(O M \parallel O N .\)

Suy ra \(M N \parallel A C\).

• Xét tứ giác \(A K H C\):
• • \(A , C\) nằm trên đường chéo \(A C\).
  • \(H , K\) nằm trên đường chéo \(B D\).
  • Ta có \(A C \bot B D\).

⇒ Hai đường chéo của tứ giác \(A K H C\) vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm (chính là \(O\)).

Do đó \(A K H C\) là hình thoi.

---

b) Chứng minh \(A C , B D , M N\) đồng quy

• Từ trên, ta đã có \(M N \parallel A C\).
• \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).
• Vì \(M N \parallel A C\), nên đường thẳng \(M N\) cắt \(B D\) tại đúng một điểm, gọi là \(P\).
• Dễ thấy \(P\) chính là giao điểm chung của \(B D\) và \(M N\). Do \(M N \parallel A C\), nên ba đường thẳng \(A C , B D , M N\) cùng đi qua một điểm:

\(A C \cap B D = O , M N \cap B D = P , m \overset{ˋ}{a} O \in M N .\)

⇒ \(A C , B D , M N\) đồng quy tại \(O\).

---

Kết luận:

a) Tứ giác \(A K H C\) là hình thoi.
b) Ba đường thẳng \(A C , B D , M N\) đồng quy tại giao điểm \(O\).

Tham Khảo bạn nhé