Question

[Hạ Bảo Quyên]

cho hình thang cân ABCD có ab>cd. góc A bằng góc B = 60 độ, AB=a. một đường tròn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB,BC,DC,DA tại M,N,P,Q. CMR:

a) OMBN nội tiếp

b) AD,BC,MP đồng quy

c) Tính QN và chu vị SDC theo a

d) gọi S1 là diện tích tam giác SDC và S2 là diện tích tam giác SAB.Tính tỉ số S1 và S2

Answer 1

[Lê Đức Phúc Lê]

**a) Chứng minh OMBN nội tiếp:** Trong hình thang cân ABCD, ta có AB // CD và ∠A = ∠B = 60°. Vì đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AB, BC tại M, N, ta có OM ⊥ AB và ON ⊥ BC. Do đó, ∠OMB = ∠ONB = 90°. Xét tứ giác OMBN: ∠OMB + ∠ONB = 90° + 90° = 180°. Vì tổng hai góc đối diện bằng 180°, tứ giác OMBN nội tiếp. **b) Chứng minh AD, BC, MP đồng quy:** Vì ABCD là hình thang cân, nên AD = BC. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Ta cần chứng minh I nằm trên MP. Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi giao điểm của AC và BD là K. K là trung điểm của AC và BD. Do đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AB, CD tại M, P, ta có AM = AP. Tương tự, BM = BN và DP = DQ. Xét tam giác AMP và tam giác BMN: * AM = AP * BM = BN * ∠A = ∠B = 60° Tuy nhiên, ta không thể khẳng định hai tam giác này bằng nhau. Cần thêm thông tin để chứng minh AD, BC, MP đồng quy. Phương pháp chứng minh này không đủ mạnh. Cần xem xét các tính chất khác của hình thang cân và đường tròn nội tiếp. **c) Tính QN và chu vi SDC theo a:** Vì ABCD là hình thang cân với ∠A = ∠B = 60°, nên ABCD là hình thang cân có đáy lớn AB và đáy nhỏ CD. Ta có AB = a. Do đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh, ta có: * AM = AQ * BM = BN * CP = CQ * DP = DM AM + MB = AB = a AQ + QD = AD CP + PD = CD BN + NC = BC Vì hình thang cân, AD = BC. Tuy nhiên, không đủ thông tin để tính QN và chu vi SDC chỉ dựa trên AB = a. Cần thêm thông tin về chiều cao hoặc độ dài CD. **d) Tính tỉ số S1/S2:** Gọi h là chiều cao của hình thang. Diện tích tam giác SAB là: S2 = (1/2) * AB * h = (1/2) * a * h Diện tích tam giác SDC là: S1 = (1/2) * CD * h Tỉ số S1/S2 = (CD/AB) Vì không có thông tin về độ dài CD, ta không thể tính tỉ số S1/S2. **Kết luận:** Chỉ có phần a) được chứng minh hoàn toàn. Các phần b), c), d) cần thêm thông tin hoặc phương pháp chứng minh khác để giải quyết. Cần xem xét lại đề bài hoặc cung cấp thêm dữ kiện để giải quyết hoàn chỉnh các phần còn lại.