Question

[👁💧👄💧👁]

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có D = 45^o, BC = 6cm, AB = 8cm.

a) Tính AD, CD.

b) Gọi M, N, E, F là trung điểm của AB, CD, BD, AC. Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng.

c) BN cắt AD tại K, EN cắt CK tại Q. Chứng minh BCKD là hình bình hành, QB = QA.

d) Chứng minh: CK^2 = AC^2 + AK^2 - 2.AC.AK.cosKAC

Em làm được a,b rồi ạ. Mong anh chị giúp em câu c,d ạ.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

K thuộc AD nên BC song song DK

Áp dụng định lý Talet: \(\dfrac{BN}{KN}=\dfrac{CN}{DN}=1\Rightarrow BN=KN\) hay N là trung điểm BK

\(\Rightarrow\) BCKD là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Theo câu b, E, M, N thẳng hàng nên Q nằm trên MN (1)

Mà MN là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow MN||AD\Rightarrow MN\perp AB\) (2)

Mà M là trung điểm AB (3)

(2);(3) \(\Rightarrow\) MN là trung trực AB (4)

(1);(4) \(\Rightarrow QB=QA\)

d.

Hạ CH vuông góc AD

Trong tam giác vuông CHK: \(cosKAC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.cos\widehat{KAC}\)

Pitago: \(CH^2+AH^2=AC^2\)

Do đó: \(CK^2=CH^2+HK^2=CH^2+\left(AK-AH\right)^2=CH^2+AH^2+AK^2-2AK.AH\)

\(=AC^2+AK^2-2AK.AC.cos\widehat{KAC}\) (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]