Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D; cạnh bằng a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Thể tích của tứ diện OA’BC bằng...

NQ

Nguyễn Quốc Việt

4 tháng 6 2017

Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh a$\sqrt{3}$ . Diện tích xung quanh của hình nón là A. S$_{xq}$=$\dfrac{3}{4}$πa2 B. S$_{xq}$=$\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$πa2 C. S$_{xq}$=$\dfrac{3}{2}$πa2 D. S$_{xq}$=$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ πa2 ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

11 tháng 7 2017

Lời giải:

Thiết diện là một tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ nên $2R=\sqrt{3}a\Rightarrow R=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Do đó diện tích xq của hình nón là:

$S_{xq}=\pi Rl=\frac{3a^2}{2}\pi$

Đáp án C

Đúng(0)

MT

Mai Thị Hà Châu

21 tháng 9 2021 - olm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Sa vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Biết góc giữa Sd và mặt phẳng (SAC) bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCDA. VS.ABCD = $\frac{2a^3}{3}$ B. VS.ABCD = $\frac{a^3}{3}$ C. VS.ABCD = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

3

VH

Vũ Hoàng

21 tháng 9 2021

Em học lớp 6 em ko câu trả lời sorry chị

Đúng(0)

NP

Nguyễn Phương Anh

21 tháng 9 2021

dạ anh nhờ bn anh hay ai tl thay nha

Đúng(0)

M

~Mưa_Rain~

30 tháng 4 2019 - olm

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Xét hai điểm M trên AD’ và N trên DB sao cho AM= DN= k (0< k <a√2 ). Gọi P là trung điểm B’C’.a) Tính cos của góc giữa hai đường thẳng AP và BC’.b) Tính thể tích khối tứ diện APBC’.c) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’CB) khi k thay đổi.d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.e) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

3

M

~Mưa_Rain~

30 tháng 4 2019

Milk lộn toán hình nhé!

Đúng(0)

TC

_____Teexu_____ Cosplayerr

30 tháng 4 2019

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

$\begin{matrix} A = (0; 0; 0) B = (a; 0; 0) D = (0; a; 0) C = (a; a; 0) \end{matrix}$ $\begin{matrix} A^{'} = (0; 0; a) B^{'} = (a; 0; a) D^{'} = (0; a; a) C^{'} = (a; a; a) \end{matrix}$

$P = (a; \frac{a}{2}; a)$

a) Ta có $- - \to A P = (a; \frac{a}{2}; a)$

$- - \to B C^{'} = (0; a; a) .$

Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $A P$ và $B C^{'}$ ta có :

$cos α = \frac{∣ ∣ 0 + \frac{a^{2}}{2} + a^{2} ∣ ∣}{\sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{2} + a^{2}} . \sqrt{a^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow α = 45^{o}$

b) Ta có : $- - \to A P = (a; \frac{a}{2}; a)$ , $- - \to A B = (a; 0; 0), - - \to A C^{'} = (a; a; a)$

$\begin{matrix} \Rightarrow [- - \to A P, - - \to A B] = (∣ ∣ ∣ \begin{matrix} \frac{a}{2} & a 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & a 0 & a \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & \frac{a}{2} a & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) = (0; a^{2}; - \frac{a^{2}}{2}) \Rightarrow [- - \to A P, - - \to A B] . - - \to A C^{'} = 0 + a^{3} - \frac{a^{3}}{2} = \frac{a^{3}}{2} . \end{matrix}$

Vậy $V_{A P B C^{'}} = \frac{1}{6} ∣ ∣ ∣ [- - \to A P, - - \to A B] . - - \to A C^{'} ∣ ∣ ∣ = \frac{1}{6} . \frac{a^{3}}{2} = \frac{a^{3}}{12} .$

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng $(A^{'} D^{'} C B)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

$p x + q z + n = 0$ $(n \neq 0, p^{2} + q^{2} > 0) .$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{'}, B, C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp $(A^{'} D^{'} C B)$ là $x + z - a = 0$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\to n = (1; 0; 1) .$

Từ giả thiết $M \in A D^{'}, N \in D B; A M = D N = k$ , ta tính được :

$M = (0; \frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{k}{\sqrt{2}}), N = (\frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{a \sqrt{2} - k}{\sqrt{2}}; 0) .$

Suy ra $- -- \to M N = (\frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}}; - \frac{k}{\sqrt{2}}) .$

Ta có $- -- \to M N . \to n = 1. \frac{k}{\sqrt{2}} + 0 (\frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}}) + 1. (- \frac{k}{\sqrt{2}}) = 0$

$\Rightarrow - -- \to M N ⊥ \to n .$

Rõ ràng $N \notin m p (A^{'} D^{'} C B) .$ Suy ra MN song song với mp $(A^{'} D^{'} C B) .$

d) Ta có $M N^{2} = {(\frac{k}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}})}^{2} + {(- \frac{k}{\sqrt{2}})}^{2} .$

$\begin{matrix} = 3 k^{2} - 2 a \sqrt{2} k + a^{2} = 3 ⎡ ⎣ {(k - \frac{a \sqrt{2}}{3})}^{2} + \frac{a^{2}}{9} ⎤ ⎦ \geq 3 \frac{a^{2}}{9} = \frac{a^{2}}{3} . \end{matrix}$

$M N^{2}$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^{2}}{3}$ khi $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0 < k < a \sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ khi $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ .

e) Khi MN ngắn nhất thì $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ Khi đó $- -- \to M N = (\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; \frac{- a}{3}) .$

Ta lại có $- - \to A D^{'} = (0; a; a), - - \to D B = (a; - a; 0)$ nên $- -- \to M N . - - \to A D^{'} = 0, - -- \to M N . - - \to D B = 0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0) A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

−−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312.

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C nên MN//A′C.Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0) A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

−−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312.

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C nên MN//A′C.

Mặt khác $- - \to A^{'} C = (a; a; - a) = 3 - -- \to M N$ , chứng tỏ $- -- \to M N$ , $- - \to A^{'} C$ cùng phương. Do $N \notin A' C$ nên $M N / / A^{'} C . Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).$

Khi đó :

$\begin{matrix} A = (0; 0; 0) B = (a; 0; 0) D = (0; a; 0) C = (a; a; 0) \end{matrix}$ $\begin{matrix} A^{'} = (0; 0; a) B^{'} = (a; 0; a) D^{'} = (0; a; a) C^{'} = (a; a; a) \end{matrix}$

$P = (a; \frac{a}{2}; a)$

a) Ta có $- - \to A P = (a; \frac{a}{2}; a)$

$- - \to B C^{'} = (0; a; a) .$

Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $A P$ và $B C^{'}$ ta có :

$cos α = \frac{∣ ∣ 0 + \frac{a^{2}}{2} + a^{2} ∣ ∣}{\sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{2} + a^{2}} . \sqrt{a^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow α = 45^{o}$

b) Ta có : $- - \to A P = (a; \frac{a}{2}; a)$ , $- - \to A B = (a; 0; 0), - - \to A C^{'} = (a; a; a)$

$\begin{matrix} \Rightarrow [- - \to A P, - - \to A B] = (∣ ∣ ∣ \begin{matrix} \frac{a}{2} & a 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & a 0 & a \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & \frac{a}{2} a & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) = (0; a^{2}; - \frac{a^{2}}{2}) \Rightarrow [- - \to A P, - - \to A B] . - - \to A C^{'} = 0 + a^{3} - \frac{a^{3}}{2} = \frac{a^{3}}{2} . \end{matrix}$

Vậy $V_{A P B C^{'}} = \frac{1}{6} ∣ ∣ ∣ [- - \to A P, - - \to A B] . - - \to A C^{'} ∣ ∣ ∣ = \frac{1}{6} . \frac{a^{3}}{2} = \frac{a^{3}}{12} .$

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng $(A^{'} D^{'} C B)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

$p x + q z + n = 0$ $(n \neq 0, p^{2} + q^{2} > 0) .$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{'}, B, C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp $(A^{'} D^{'} C B)$ là $x + z - a = 0$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\to n = (1; 0; 1) .$

Từ giả thiết $M \in A D^{'}, N \in D B; A M = D N = k$ , ta tính được :

$M = (0; \frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{k}{\sqrt{2}}), N = (\frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{a \sqrt{2} - k}{\sqrt{2}}; 0) .$

Suy ra $- -- \to M N = (\frac{k}{\sqrt{2}}; \frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}}; - \frac{k}{\sqrt{2}}) .$

Ta có $- -- \to M N . \to n = 1. \frac{k}{\sqrt{2}} + 0 (\frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}}) + 1. (- \frac{k}{\sqrt{2}}) = 0$

$\Rightarrow - -- \to M N ⊥ \to n .$

Rõ ràng $N \notin m p (A^{'} D^{'} C B) .$ Suy ra MN song song với mp $(A^{'} D^{'} C B) .$

d) Ta có $M N^{2} = {(\frac{k}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2} - 2 k}{\sqrt{2}})}^{2} + {(- \frac{k}{\sqrt{2}})}^{2} .$

$\begin{matrix} = 3 k^{2} - 2 a \sqrt{2} k + a^{2} = 3 ⎡ ⎣ {(k - \frac{a \sqrt{2}}{3})}^{2} + \frac{a^{2}}{9} ⎤ ⎦ \geq 3 \frac{a^{2}}{9} = \frac{a^{2}}{3} . \end{matrix}$

$M N^{2}$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^{2}}{3}$ khi $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0 < k < a \sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ khi $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ .

e) Khi MN ngắn nhất thì $k = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ Khi đó $- -- \to M N = (\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; \frac{- a}{3}) .$

Ta lại có $- - \to A D^{'} = (0; a; a), - - \to D B = (a; - a; 0)$ nên $- -- \to M N . - - \to A D^{'} = 0, - -- \to M N . - - \to D B = 0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác $- - \to A^{'} C = (a; a; - a) = 3 - -- \to M N$ , chứng tỏ $- -- \to M N$ , $- - \to A^{'} C$ cùng phương. Do $N \notin A' C$ nên $M N / / A^{'} C .$