Question

[Thanh Tùng DZ]

cho hình chữ nhật ABCD có AB < BC. trên AD lấy E sao cho BE = BC. tia phân giác \(\widehat{EBC}\) cắt CD tại F. gọi I là giao điểm EF và AB. 

a) tính IF theo kích thước hình chữ nhật ABCD

b) CM : CI \(\perp\)BD.

giúp mình với .  mốt thi rồi

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

BCFDEAabI

Đặt AB=a, BC=b

a) BE=BC=b

Tam giác BEF=BCF  ( tự chứng minh)(1)

=> \(\widehat{BEF}=90^o\)

Xét tam giác AEB  vuông tại A

Áp dung định lí Pitago ta có: AE=\(\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{b^2-a^2}\)

Tam giác IAE đồng dạng tam giác EAB ( tự chứng minh)

=> \(\frac{IA}{EA}=\frac{EA}{AB}\Rightarrow IA=\frac{EA^2}{AB}=\frac{b^2-a^2}{a}\)

=> \(IB=IA+AB=\frac{b^2-a^2}{a}+a=\frac{b^2}{a}\)

Xét tam giác IBE vuông tại E

=> \(IE=\sqrt{IB^2-BE^2}=\sqrt{\frac{b^4}{a^2}-b^2}=\frac{b\sqrt{b^2-a^2}}{a}\)

DF//BI => \(\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{IE}=\frac{DE+AE}{EF+IE}=\frac{AD}{IF}\Rightarrow IF=\frac{AD.IE}{AE}=\frac{b.\frac{b.\sqrt{b^2-a^2}}{a}}{\sqrt{b^2-a^2}}=\frac{b^2}{a}\)

b) Có: 

\(\frac{DC}{BC}=\frac{a}{b}\)

 \(\frac{BC}{BI}=\frac{\frac{b^2}{a}}{b}=\frac{b}{a}\)

=> \(\frac{DC}{BC}=\frac{BC}{BI};\widehat{IBC}=\widehat{BCD}\left(=90^o\right)\)

=> tam giác BCD đồng dạng IBC

=> \(\widehat{BIC}=\widehat{CBD}\)

mà \(\widehat{BIC}+\widehat{BCI}=90^o\)

=> \(\widehat{CBD}+\widehat{BCI}=90^o\)

Gọi H là giao điểm BD và CI

=> \(\widehat{BHC}=90^o\)

=> CI vuông BD