Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nối DM và AB kéo dài cắt nhau tại E
Do BM song song và bằng 1 nửa AD \(\Rightarrow BM\) là đường trung bình tam giác ADE
\(\Rightarrow AE=2BE\Rightarrow d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}BN\cap\left(SMD\right)=S\\NS=\dfrac{1}{3}BS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)
Từ A kẻ AF vuông góc MD (F thuộc MD), từ A kẻ AH vuông góc SF (H thuộc SF)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SMD\right)\Rightarrow AH=d\left(A:\left(SMD\right)\right)\)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông ADE:
\(\Rightarrow AF=\dfrac{AD.AE}{DE}=\dfrac{AD.2AB}{\sqrt{AD^2+\left(2AB\right)^2}}=\dfrac{8a\sqrt{17}}{17}\)
\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{21}\)
Hệ thức lượng: \(AH=\dfrac{SA.AF}{\sqrt{SA^2+AF^2}}=...\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}AF=...\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH
\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)
a) Nhận xét: Tam giác ABD là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABD), ta có:
Hình 3.91
SA = SB = SD ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
⇒ H là trọng tâm tam giác ABD
⇒ H ∈ AC.
⇒ (SAC) ⊥ (ABCD).
b) Ta có:
📌 1. Khoảng cách từ SBSB đến đường thẳng BDBD
Ta dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo chéo nhau trong không gian:
d=∣SB⃗⋅(BD⃗×u⃗)∣∣BD⃗×u⃗∣d = \frac{|\vec{SB} \cdot (\vec{BD} \times \vec{u})|}{|\vec{BD} \times \vec{u}|}Trong đó:
Tính tích có hướng BD⃗×u⃗\vec{BD} \times \vec{u}:
BD⃗×u⃗=∣i⃗j⃗k⃗−a2a0a0−a∣=(−2a2)i⃗−a2j⃗−2a2k⃗⇒BD⃗×u⃗=(−2a2,−a2,−2a2)\vec{BD} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 2a & 0 \\ a & 0 & -a \end{vmatrix} = (-2a^2)\vec{i} - a^2\vec{j} - 2a^2\vec{k} \Rightarrow \vec{BD} \times \vec{u} = (-2a^2, -a^2, -2a^2)Tiếp tục tính:
SB⃗=(a,0,−a)→∣SB⃗⋅(BD⃗×u⃗)∣=∣a(−2a2)+0+(−a)(−2a2)∣=∣−2a3+2a3∣=0\vec{SB} = (a, 0, -a) \quad \text{→} \quad |\vec{SB} \cdot (\vec{BD} \times \vec{u})| = |a(-2a^2) + 0 + (-a)(-2a^2)| = |-2a^3 + 2a^3| = 0Vì tích vô hướng bằng 0 → hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song. Nhưng do không đồng phẳng → chúng chéo nhau → khoảng cách là:
d=∣SB⃗⋅(BD⃗×u⃗)∣∣BD⃗×u⃗∣=0d = \frac{|\vec{SB} \cdot (\vec{BD} \times \vec{u})|}{|\vec{BD} \times \vec{u}|} = 0❗ Vậy khoảng cách từ SBSB đến BDBD là 0, nghĩa là hai đường giao nhau.
📌 2. Khoảng cách từ SB đến CB
Ta dùng công thức:
d=∣SC⃗×v⃗∣∣v⃗∣d = \frac{|\vec{SC} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}với SC⃗=(a,2a,−a)\vec{SC} = (a,2a,-a), v⃗=(0,−2a,0)\vec{v} = (0,-2a,0)
Tích có hướng:
SC⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗a2a−a0−2a0∣=(−2a2)i⃗+(0)j⃗−(2a2)k⃗→SC⃗×v⃗=(−2a2,0,−2a2)\vec{SC} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 2a & -a \\ 0 & -2a & 0 \end{vmatrix} = (-2a^2)\vec{i} + (0)\vec{j} - (2a^2)\vec{k} → \vec{SC} \times \vec{v} = (-2a^2, 0, -2a^2) ∣SC⃗×v⃗∣=(−2a2)2+(−2a2)2=8a4=2a22|\vec{SC} \times \vec{v}| = \sqrt{(-2a^2)^2 + (-2a^2)^2} = \sqrt{8a^4} = 2a^2\sqrt{2} ∣v⃗∣=02+(−2a)2+02=2a|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2 + 0^2} = 2aVậy:
d=2a222a=a2d = \frac{2a^2\sqrt{2}}{2a} = a\sqrt{2}