Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a; AD = 2a; S A ⊥ A B C D . Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD )  bằng 45 o . Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.MCD và khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BD

A.  V = a 3 2 6 d = a 22 11

B.  V = a 3 6 6 d = a 22 11

C.  V = a 3 2 6 d = a 22 22

D.  V = a 3 6 6 d = a 22 22

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Ta có  S C D ∩ A B C D = C D

C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D

Vì  S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D

Nên  S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o

Dễ thấy ∆ S A C  vuông cân tại A

Suy ra SA = AC =  a 2

Lại có

  S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2

Do đó

  V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6

Ta có

  B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ  A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P

Suy ra  A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H

∆ S A P  vuông tại A có

1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH =  a 22 11

Đáp án A