Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S M H G N A O D C
Ta có \(\begin{cases}BC\perp SA\\BC\perp AB\end{cases}\)\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)\(\Rightarrow BC\perp AM\) (vì \(AM\subset\left(SAB\right)\left(1\right)\)
Mặt khác \(SC\perp\alpha\Rightarrow SA\perp AM\) (vì \(AM\subset\alpha\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM\perp MG\) (vì \(MG\subset\left(SBC\right)\))
\(\Rightarrow\Delta AMG\) vuông tại M, tương tự ta cũng có tam giác ANG vuông tại N \(\Rightarrow\) tâm H đường tròn đáy của (H) là trung điểm AG, có bán kính \(R=\frac{AG}{2}\)
Xét tam giác vuông SAC tại A có \(AG=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\Rightarrow R=\frac{\sqrt{6}}{6}a\)
Vì OH là đường cao (H)\(\Rightarrow OH\perp\alpha\Rightarrow OH\)//\(SC\Rightarrow O\) là giao điểm hai đường chéo AC, BD
\(\Rightarrow OH=\frac{1}{2}CG\).
Xét tam giác vuoongSAC có AG là đường cao, nên \(CG=\frac{AC^2}{SC}=\frac{2}{\sqrt{3}}a\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Vậy thể tích hình nón là \(V_{\left(H\right)}=\frac{1}{3}\pi.R^2.OH=\frac{\sqrt{3}}{54}\pi a^3\)
A B C D S M H
\(\widehat{BAD}=120^0\Rightarrow\widehat{ABC}\Rightarrow\Delta ABC\) đều
\(\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(\widehat{SMA}=45^0\Rightarrow\) Tam giác SAM vuông tại A : SA = AM = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Do đó \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{a^3}{4}\)
Do AD song song với BC nên d(D;(SBC))=d(A,(SBC))
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
Ta có : \(\begin{cases}AM\perp BC\\SA\perp BC\end{cases}\)\(\Rightarrow BC\perp\cdot\left(SAM\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH\)
Ta có :
\(AH=\frac{AM\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\Rightarrow d\left(D,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
I*AB=> SI\(\perp\)AB
SI=\(SI=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(V_{k.chop}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
b) Kẻ IK//DM(K\(\in\)AD)
Kẻ KH\(\perp\)DM(H\(\in\)DM)
=> d(I,DM)=d(K,DM0=KH
\(\Delta IAK~\Delta DCM\Rightarrow AK=\frac{1}{2}CM=\frac{a}{6}\)=> KD=5a/6
\(cos\widehat{ADM}=cos\widehat{DMC}=\frac{CM}{DM}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a\sqrt{10}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
=> KH=KDsin\(\widehat{ADM}\)=\(\sqrt{1-\cos\widehat{ADM}^2}=\frac{5a}{6}.\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
d(S,DM)=\(\sqrt{SI^2+d\left(I,DM\right)^2}=\frac{a\sqrt{22}}{4}\)
S B M H A E N C D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
Ta có : \(SA^2+SB^2=a^2+3a^2=AB^2\)
Nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S.
Suy ra : \(SM=\frac{AB}{2}=a\) Do đó tam giác SAM là tam giác đều, suy ra \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Diện tích của tứ giác BMDN là \(S_{BMDN}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=2a^2\)
Thể tích của khối chóp S.BMDN là \(V=\frac{1}{3}SH.S_{BMDN}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Kẻ ME song song với DN (E thuộc AD)
Suy ra : \(AE=\frac{a}{2}\) Đặt \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SM và DN
Ta có \(\left(\widehat{SM,ME}\right)=\alpha\), theo định lý 3 đường vuông góc ta có \(SA\perp AE\)
Suy ra :
\(SE=\sqrt{SA^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2};ME=\sqrt{AM^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Tam giác SME là tam giác cân tại E nên \(\begin{cases}\widehat{SME}=\alpha\\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{cases}\)
Cho mình hỏi, tam giác cân thì tại sao lại suy ra cos góc kia như thế ??
S A B C D M N H K
Thế tích của khối chóp S.CDNM :
\(S_{CDNM}=S_{ABCD}-S_{AMN}-SBC\)
\(=AB^2-\frac{1}{2}AM.AN-\frac{1}{2}BC.BM\)
\(=a^2-\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{8}\)
Vậy \(V_{SCDNM}=\frac{1}{3}S_{CDNM.SH}=\frac{5\sqrt{3}a^2}{24}\)
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC
\(\Delta ADM=\Delta DCN\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCN}\Rightarrow DM\perp CN\)
Kết hợp với điều kiện :
\(DM\perp SH\Rightarrow DM\perp\left(SHC\right)\)
Hạ \(HK\perp SC\left(K\in SC\right)\Rightarrow HK\)là đoạn vuông góc chung của DM và SC
Do đó :
\(d\left(DM,SC\right)=HK\)
Ta có :
\(\begin{cases}HC=\frac{CD^2}{CN}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\\HK=\frac{SH.HC}{\sqrt{SH^2+HC^2}}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}\end{cases}\)
\(\Rightarrow d\left(DM,SC\right)=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}\)
cậu ơi, hướng dẫn giúp tớ bài tương tự này với: cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SD và mặt phẳng ABCD là 45 độ, SA vuông góc (ABCD). M là trung điểm BC. Tính khoảng cách DM và SC
cảm ơn c nhiều nhiều.
D A B C N M I G H
\(d\left(M,BN\right)=\frac{\left|13\left(-1\right)-10.2+13\right|}{\sqrt{13^2+10^2}}=\frac{20}{\sqrt{269}}\)
\(H\in\Delta\Leftrightarrow H\left(3a;2a\right)\)
Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN. Ta thấy G là trọng tâm của tam giác BCD
Suy ra \(CG=\frac{2}{3}.CI=\frac{1}{3}AC\) mà \(AM=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MG=\frac{5}{12}AC\Rightarrow CG=\frac{4}{5}MG\)
\(\Rightarrow d\left(C,BN\right)=\frac{4}{5}d\left(M,BN\right)=\frac{16}{\sqrt{269}}\Rightarrow d\left(H,BN\right)=2d\left(C,BN\right)=\frac{32}{\sqrt{269}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|13.3a-10.2a+13\right|}{\sqrt{269}}=\frac{32}{\sqrt{269}}\Leftrightarrow a=1\) hoặc \(a=\frac{-45}{19}\)
Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên \(H\left(3;2\right)\)
Tiếp.........
Ta thấy \(CM=\frac{3AC}{4}=\frac{2AB}{4}=\frac{2CD}{4}=\frac{CD}{2}=CD=CH\Rightarrow\Delta MHN\) vuông tại M
HM có phương trình \(y-2=0\Rightarrow MN:x+1=0\Rightarrow N\left(-1;0\right)\Rightarrow C\left(1;1\right),D\left(-3;-1\right)\)
Do \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MA}\Rightarrow A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right)\Rightarrow I\left(\frac{-1}{3};\frac{5}{3}\right)\Rightarrow B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right)\)
Vậy \(A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right);B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right);C\left(1;1\right);D\left(-3.-1\right)\)
\(\widehat{BAD}=120^0\Rightarrow\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC và ACD là các tam giác đều
\(AH=AC\Rightarrow AH=AC=AB\Rightarrow\Delta HBC\) vuông tại B
\(\Rightarrow HB\perp BC\Rightarrow HB\perp AD\)
Qua H kẻ đường thẳng \(d\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow S\in d\)
Gọi O là giao điểm AC và BD, do góc giữa (SBD) và đáy bằng 60 độ
\(\Rightarrow\widehat{SOH}=60^0\)
\(\Rightarrow SH=OH.tan60^0=\left(AH+AO\right).tan60=\left(a+\dfrac{a}{2}\right).tan60^0=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)
\(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a^3}{4}\)
b.
\(SC=\sqrt{SH^2+HC^2}=\sqrt{SH^2+\left(2AC\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{43}}{2}\)
\(\Rightarrow M\) là trung điểm SC \(\Rightarrow AM\) là đường trung bình tam giác SHC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM||SH\Rightarrow AM\perp\left(ABCD\right)\\AM=\dfrac{1}{2}SH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\)
\(HD=\sqrt{OD^2+OD^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\Rightarrow SN=\dfrac{1}{3}SD\Rightarrow ND=\dfrac{2}{3}SD\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(S;\left(MAD\right)\right)\)
Mà \(SH||\left(MAD\right)\Rightarrow d\left(S;\left(MAD\right)\right)=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)
Gọi E là giao điểm BH và AD, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}HB\perp AD\left(cmt\right)\\AM\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AM\perp HB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow HB\perp\left(MAD\right)\)
\(\Rightarrow HE=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)
\(HE=\dfrac{1}{2}HB=\dfrac{1}{2}HD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow V_{AMND}=\dfrac{1}{3}.d\left(N;\left(MAD\right)\right).\dfrac{1}{2}AM.AD=\dfrac{a^3}{8}\)