Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ $\left( a>0 \right)$, đường cao $SO=a\sqrt{6}$ ( với $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$). a) Chứng minh rằng $BD\bot \left( SAC \right)$....

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ $\left( a>0 \right)$, đường cao $SO=a\sqrt{6}$ ( với $O$...

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

1 tháng 6 2021 - olm

(3 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{2}$. Các mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $CD$.

a. Chứng minh rằng $BC\bot \left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)\bot \left( SBD \right)$.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AN$ và $SC$ theo $a$.

#Toán lớp 11

5

VN

Võ Ngọc Tú Uyên

20 tháng 4 2022

Võ Ngọc Tú Uyên loading...

Đúng(0)

HT

Huỳnh Thúy Hằng

20 tháng 4 2022

loading...

Đúng(0)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

1 tháng 6 2021 - olm

(3 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{2}$. Các mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $CD$.

a. Chứng minh rằng $BC\bot \left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)\bot \left( SBD \right)$.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AN$ và $SC$ theo $a$.

#Toán lớp 11

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

1 tháng 6 2021

a) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD), (SAB) và (SAB) có giao tuyến SA => SA vuông góc (ABCD)

=> BC vuông góc SA. Mà BC vuông góc AB nên BC vuông góc (SAB).

Ta cũng có BD vuông góc AS, BD vuông góc AC vì ABCD là hình vuông

=> BD vuông góc (SAC) hay (SAC) vuông góc (SBD).

b) Gọi M là trung điểm của AB, CM cắt AD tại P, H thuộc CM sao cho AH vuông góc CM, K thuộc SH sao cho AK vuông góc SH.

Dễ thấy AN || CM => AN || (SCM) => d(AN,SC) = d(AN,SCM) = d(A,SCM) = d(A,SMP)

Ta có AH vuông góc MP, MP vuông góc AS => MP vuông góc (HAS) => (SMP) vuông góc (HAS)

Vì (SMP) và (HAS) có giao tuyến SH, AK vuông góc SH tại K nên d(A,SMP) = AK

Theo hệ thức lượng thì: $\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}$

$\Rightarrow d\left(AN,SC\right)=d\left(A,SMP\right)=AK=\frac{AS.AM.AP}{\sqrt{AS^2AM^2+AM^2AP^2+AP^2AS^2}}$

$=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.a}{\sqrt{2a^2.\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}.a^2+a^2.2a^2}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}.$

Đúng(0)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

8 tháng 5 2023

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O cạnh 2a, SO vuông góc (ABCD) và $SO=a\sqrt{6}$

a: Chứng minh $\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)$

b: Tính $\widehat{SC;\left(ABCD\right)}$

c: Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD)

#Toán lớp 11

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 5 2023

a.

$\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AC\\AC\perp BD\left(\text{hai đường chéo hình vuông}\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)$

Mà $AC\in\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)$

b.

$SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow OC$ là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

$\Rightarrow\widehat{SCO}$ là góc giữa SC và (ABCD)

$OC=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}$

$tan\widehat{SCO}=\dfrac{SO}{OC}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SCO}=60^0$

c.

Gọi E là trung điểm CD, từ O kẻ $OF\perp SE$

OE là đường trung bình tam giác BCD $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE=\dfrac{1}{2}BC=a\\OE||BC\Rightarrow OE\perp CD\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow CD\perp\left(SOE\right)$$\Rightarrow CD\perp OF$

$\Rightarrow OF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow OF=d\left(O;\left(SCD\right)\right)$

Do $\left\{{}\begin{matrix}AO\cap\left(SCD\right)=C\\AC=2OC\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=2OF$

Hệ thức lượng: $OF=\dfrac{OE.SO}{\sqrt{OE^2+SO^2}}=...$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 5 2023

loading...

Đúng(0)

B

Buddy

16 tháng 8 2023

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 2 .$

a) Tính khoảng cách từ A đến SC.

b) Chứng minh $BD \bot \left( {SAC} \right).$

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.

#Toán lớp 11

1

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

22 tháng 9 2023

loading...

a) Trong (SAC) kẻ $AH \bot SC \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = AH$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $

Xét ta giác SAC vuông tại A có

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = a$

$ \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = a$

b) Ta có $BD \bot AC,BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

c) Trong (SAC) kẻ $OK \bot SC$

$\begin{array}{l}OK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\ \Rightarrow d\left( {SC,BD} \right) = OK\end{array}$

Xét tam giác AHC vuông tại H có

O là trung điểm AC

OK // AH (cùng vuông góc SC)

$ \Rightarrow $ OK là đường trung bình $ \Rightarrow $ $OK = \frac{1}{2}AH = \frac{a}{2}$$ \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = \frac{a}{2}$

Đúng(0)

B

Buddy

13 tháng 8 2023

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, tam giác $SAC$ là tam giác đều.a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.b) Chứng minh rằng $AC \bot \left( {SBD} \right)$. Tính số đo của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.c) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

22 tháng 9 2023

loading...

a) $SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO}$

Tam giác $SAC$ là tam giác đều $ \Rightarrow \widehat {SAO} = {60^ \circ }$

$ \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^ \circ }$

b) $ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $ \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC$

$ \Rightarrow AC \bot \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

$ \Rightarrow \left( {SA,\left( {SB{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO} = \frac{1}{2}\widehat {ASC} = {30^ \circ }$

c) $SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot MO,SO \bot DO$

Vậy $\widehat {MO{\rm{D}}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {M,SO,D} \right]$

$ABCD$ là hình vuông $\widehat {AOD} = {90^ \circ }$

$\Delta AMO$ vuông cân tại $M \Rightarrow \widehat {AOM} = {45^ \circ }$

$ \Rightarrow \widehat {MO{\rm{D}}} = \widehat {AOM} + \widehat {AO{\rm{D}}} = {45^ \circ } + {90^ \circ } = {135^ \circ }$

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {M,SO,D} \right]$ bằng ${135^ \circ }$.

Đúng(0)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

14 tháng 5 2021 - olm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BA=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$. a) (1 điểm) Chứng minh $\left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)$. b) (1 điểm) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$. c) (1 điểm) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

29

NT

Nguyễn Tất Đạt

16 tháng 5 2021

a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB

=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).

b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)

=> (SC,SAB) = ^CAB

$SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}$$=a\sqrt{3}$

$\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=> (SC,SAB) = ^CAB = 30⁰.

c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.

BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC

=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).

Dễ thấy $\Delta$SAB = $\Delta$SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => $\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}$=> HK || BT || CD

=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = $\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}$

$=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}$

Đúng(0)

DT

Đoàn Trắc Thịnh

17 tháng 5 2021

undefined

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

23 tháng 5 2017

Hình thoi ABCD tâm O có cạnh a và có $OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD b) Chứng minh $\left(SAD\right)\perp\left(SAB\right),\left(SCB\right)\perp\left(SCD\right)$ c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1

NT

Nguyen Thuy Hoa

26 tháng 5 2017

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Đúng(0)

B

Buddy

20 tháng 8 2023

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt 2 $, có các cạnh bên đều bằng $2a$.

a) Tính góc giữa $SC$ và $AB$.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $SAB$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

#Toán lớp 11

1

BN

Bùi Nguyên Khải

21 tháng 8 2023

tham khảo:

Bài tập 3 trang 64 Toán 11 tập 2 Chân trời

a) AB//CD nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD: $\widehat{SCD}$

cos$\widehat{SCD}$=$\dfrac{\left(2a\right)^2+a^2-\left(2a\right)^2}{2.2a.a}=\dfrac{1}{4}$

Suy ra $\widehat{SCD}=75^0$

b) Kẻ SO⊥(ABCD). Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có: AO⊥OB;AC=$\sqrt{2}.\sqrt{2}$.a=2a;AO=BO=$\dfrac{1}{2}$.2a=a

Hình chiếu vuông góc của tam giác SAB là tam giác OAB có diện tích là $\dfrac{1}{2}$.a.a=$\dfrac{1}{2}.a^2$

Đúng(1)

B

Buddy

20 tháng 8 2023

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 $. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $C{\rm{D}}$.

a) Chứng minh $AB \bot \left( {SIJ} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

#Toán lớp 11

1

KS

Kiều Sơn Tùng

22 tháng 9 2023

a) Gọi $O$ là tâm của đáy

$ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB$

$I$ là trung điểm của $AB$

$J$ là trung điểm của $C{\rm{D}}$

$ \Rightarrow IJ$ là đường trung bình của hình vuông $ABCD$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow IJ\parallel A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot AB$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}SO \bot AB\\IJ \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIJ} \right)$

b) Kẻ $IH \bot SJ\left( {H \in SJ} \right),OK \bot SJ\left( {K \in SJ} \right) \Rightarrow IH\parallel OK$

$O$ là trung điểm của $IJ \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right)$

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {SIJ} \right)\\C{\rm{D}}\parallel AB\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot IH\\ & IH \bot SJ\end{array} \right\} \Rightarrow IH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = IH\end{array}$

$O$ là trung điểm của $IJ$, $IH\parallel {\rm{O}}K$$ \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K$

$O$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$

$J$ là trung điểm của $C{\rm{D}}$

$ \Rightarrow OJ$ là đường trung bình của $\Delta BCD$

$ \Rightarrow OJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$

$\Delta ABC$ vuông tại $B$$ \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta SAO$ vuông tại $O$$ \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

$\Delta SOJ$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$

$ \Rightarrow OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$

$ \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = IH = 2OK = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP