Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago và các tính chất của hình bình hành như $AB=CD; AD=BC$ ta có:
\(AC^2=AF^2+FC^2=AF^2+DC^2-DF^2=(AF-DF)(AF+DF)+DC^2\)
\(=AD(AF+DF)+AB^2\)
\(=AD.AF+AD.DF+AB(AE-BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(AD.DF-AB.BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(BC.DF-CD.BE)(*)\)
Xét tam giác $CBE$ và $CDF$ có:
\(\widehat{CEB}=\widehat{CFD}=90^0\)
\(\widehat{CBE}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ADC}=\widehat{CDF}\)
\(\Rightarrow \triangle CBE\sim \triangle CDF(g.g)\Rightarrow \frac{CB}{CD}=\frac{BE}{DF}\)
\(\Rightarrow BC.DF=BE.CD\Rightarrow BC.DF-CD.BE=0(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow AC^2=AD.AF+AB.AE\)
Ta có đpcm.
Kẻ DH và BK cùng vuông góc với AC. Thì tam giác vuông ADH = tam giác vuông CBK( AD = BC ; góc DAH = góc BCK so le trong) suy ra AH = CK.
Ta có tam giác vuông ADH đồng dạng với tam giác vuông ACF vì có góc A chung suy ra AH/AF = AD/AC suy ra AD.AF = AH.AC = CK.AC (1)
Cm tương tự ta cũng có : tam giác vuông AEC đồng dạng với tam giác vuông AKB cho ta AB.AE = AK.AC (2)
Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm
Bước 1: Xét tam giác vuông \(A C E\)
Vì \(C E \bot A B\), ta có \(\triangle A C E\) vuông tại \(E\). Theo định lý Pythagoras:
\(A C^{2} = A E^{2} + E C^{2}\)
Bước 2: Xét tam giác vuông \(A C F\)
Tương tự, vì \(C F \bot A D\), ta có \(\triangle A C F\) vuông tại \(F\), nên:
\(A C^{2} = A F^{2} + C F^{2}\)
Bước 3: Xét tổng hai phương trình
Từ hai phương trình trên:
\(A E^{2} + E C^{2} + A F^{2} + C F^{2} = 2 A C^{2}\)
Mặt khác, trong hình bình hành, ta có tính chất:
\(E C^{2} = A F \cdot A D , C F^{2} = A E \cdot A B\)
Thay vào phương trình:
\(A E^{2} + A F^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)
Do hình bình hành có tính chất đối xứng, ta cũng có:
\(A E^{2} + A F^{2} = A C^{2}\)
Suy ra:
\(A C^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)
Từ đó suy ra:
\(A E \cdot A B + A F \cdot A D = A C^{2}\)