Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ DH và BK cùng vuông góc với AC. Thì tam giác vuông ADH = tam giác vuông CBK( AD = BC ; góc DAH = góc BCK so le trong) suy ra AH = CK.
Ta có tam giác vuông ADH đồng dạng với tam giác vuông ACF vì có góc A chung suy ra AH/AF = AD/AC suy ra AD.AF = AH.AC = CK.AC (1)
Cm tương tự ta cũng có : tam giác vuông AEC đồng dạng với tam giác vuông AKB cho ta AB.AE = AK.AC (2)
Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm
Bước 1: Xét tam giác vuông \(A C E\)
Vì \(C E \bot A B\), ta có \(\triangle A C E\) vuông tại \(E\). Theo định lý Pythagoras:
\(A C^{2} = A E^{2} + E C^{2}\)
Bước 2: Xét tam giác vuông \(A C F\)
Tương tự, vì \(C F \bot A D\), ta có \(\triangle A C F\) vuông tại \(F\), nên:
\(A C^{2} = A F^{2} + C F^{2}\)
Bước 3: Xét tổng hai phương trình
Từ hai phương trình trên:
\(A E^{2} + E C^{2} + A F^{2} + C F^{2} = 2 A C^{2}\)
Mặt khác, trong hình bình hành, ta có tính chất:
\(E C^{2} = A F \cdot A D , C F^{2} = A E \cdot A B\)
Thay vào phương trình:
\(A E^{2} + A F^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)
Do hình bình hành có tính chất đối xứng, ta cũng có:
\(A E^{2} + A F^{2} = A C^{2}\)
Suy ra:
\(A C^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)
Từ đó suy ra:
\(A E \cdot A B + A F \cdot A D = A C^{2}\)
Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago và các tính chất của hình bình hành như $AB=CD; AD=BC$ ta có:
\(AC^2=AF^2+FC^2=AF^2+DC^2-DF^2=(AF-DF)(AF+DF)+DC^2\)
\(=AD(AF+DF)+AB^2\)
\(=AD.AF+AD.DF+AB(AE-BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(AD.DF-AB.BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(BC.DF-CD.BE)(*)\)
Xét tam giác $CBE$ và $CDF$ có:
\(\widehat{CEB}=\widehat{CFD}=90^0\)
\(\widehat{CBE}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ADC}=\widehat{CDF}\)
\(\Rightarrow \triangle CBE\sim \triangle CDF(g.g)\Rightarrow \frac{CB}{CD}=\frac{BE}{DF}\)
\(\Rightarrow BC.DF=BE.CD\Rightarrow BC.DF-CD.BE=0(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow AC^2=AD.AF+AB.AE\)
Ta có đpcm.
Hình vẽ: