K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MN
5 tháng 1 2020
Qua B và D kẻ hai đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt AC tại H và K.
Gọi giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD.
Áp dụng định lí Ta-lét, ta có các tỉ số :
\(\frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AM}\); \(\frac{AD}{AF}=\frac{AK}{AM}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AH}{AM}+\frac{AK}{AM}=\frac{AH+AK}{AM}=\frac{2AK+IH+IK}{AM}\)(1)
Ta có : \(\Delta BHI=\Delta DKI\left(gcg\right)\)
\(\Rightarrow IH=IK\)
Thay vào (1) ta được :
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{2AK+2IK}{AM}=\frac{2\left(AK+IK\right)}{AM}=\frac{2AI}{AM}\)
Mà \(AI=\frac{1}{2}AC\Rightarrow2AC=AI\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AM}\)(Đpcm)
Lời giải:
Áp dụng định lý Pitago và các tính chất của hình bình hành như $AB=CD; AD=BC$ ta có:
\(AC^2=AF^2+FC^2=AF^2+DC^2-DF^2=(AF-DF)(AF+DF)+DC^2\)
\(=AD(AF+DF)+AB^2\)
\(=AD.AF+AD.DF+AB(AE-BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(AD.DF-AB.BE)\)
\(=(AD.AF+AB.AE)+(BC.DF-CD.BE)(*)\)
Xét tam giác $CBE$ và $CDF$ có:
\(\widehat{CEB}=\widehat{CFD}=90^0\)
\(\widehat{CBE}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ADC}=\widehat{CDF}\)
\(\Rightarrow \triangle CBE\sim \triangle CDF(g.g)\Rightarrow \frac{CB}{CD}=\frac{BE}{DF}\)
\(\Rightarrow BC.DF=BE.CD\Rightarrow BC.DF-CD.BE=0(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow AC^2=AD.AF+AB.AE\)
Ta có đpcm.
Hình vẽ: