Question

[Nguyễn Thanh Hải]

Cho hình bình hành ABCD có góc A=120∘. Tia phân giác của góc D qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:
a, AI = 2DH

b, DI = 2AH

c, AC vuông góc với AD

Answer 1

[Lê Gia Hưng]

Cức chó cức trâu

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Anh]

1. Chứng minh AI=2DH

Bước 1: Tính các góc và xác định độ dài đoạn thẳng.

• Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC và ∠D+∠A=180∘. ∠D=180∘−∠A=180∘−120∘=60∘
• DI là tia phân giác của ∠D nên: ∠CDI=∠ADI=2∠D​=260∘​=30∘
• Vì AB // DC và DI là cát tuyến nên ∠AID=∠CDI (hai góc so le trong). ∠AID=30∘
• Trong △ADI, ta có ∠AID=30∘ và ∠ADI=30∘. Do đó, △ADI là tam giác cân tại A. AD=AI
• Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = DC.
• I là trung điểm của AB nên AI=2AB​. Từ đó suy ra: AD=AI=2AB​

Bước 2: Xét △ADH.

• Ta có AH⊥DC (theo giả thiết), nên △ADH là tam giác vuông tại H.
• Trong hình bình hành, ∠ADC=∠D=60∘.
• Trong tam giác vuông ADH, ta có: cos(∠ADH)=ADDH​ cos(60∘)=ADDH​ 21​=ADDH​ AD=2DH

Bước 3: Kết luận.

• Từ AI=AD (chứng minh ở Bước 1) và AD=2DH (chứng minh ở Bước 2), ta suy ra: AI=2DH(Điều phải chứng minh)

---

2. Chứng minh DI=2AH

Bước 1: Xét △ADH.

• △ADH là tam giác vuông tại H. Ta đã biết ∠D=60∘.
• Ta có: sin(∠ADH)=ADAH​ sin(60∘)=ADAH​ 23​​=ADAH​ AD=3​2AH​(∗)

Bước 2: Xét △ADI.

• Trong △ADI, ta có ∠DAI=∠DAB=120∘. AD=AI và ∠ADI=30∘. ∠DAI=180∘−(∠AID+∠ADI)=180∘−(30∘+30∘)=120∘
• Áp dụng Định lý Sin cho △ADI: sin(∠DAI)DI​=sin(∠AID)AD​ sin(120∘)DI​=sin(30∘)AD​ 23​​DI​=21​AD​ DI⋅3​2​=AD⋅2 DI=AD⋅3​(∗∗)

Bước 3: Kết luận.

• Thay (∗) vào (∗∗), ta được: DI=(3​2AH​)⋅3​ DI=2AH(Điều phải chứng minh)

---

3. Chứng minh AC vuông góc với AD

Bước 1: Tính độ dài các cạnh liên quan đến △ADC.

• Ta có AI=AD và I là trung điểm AB. Suy ra AD=2AB​.
• Vì ABCD là hình bình hành nên DC=AB. Do đó DC=2AD.

Bước 2: Xét △ADC.

• Ta có △ADC với:
• • DC=2AD
  • ∠ADC=60∘
• Áp dụng Định lý Cosin để tính AC2: AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos(∠ADC) AC2=AD2+(2AD)2−2⋅AD⋅(2AD)⋅cos(60∘) AC2=AD2+4AD2−4AD2⋅21​ AC2=5AD2−2AD2 AC2=3AD2

Bước 3: Kiểm tra tính vuông góc.

• Để AC⊥AD thì △ADC phải vuông tại A. Khi đó, theo định lý Pytago, ta cần có AD2+AC2=DC2.
• Thay các giá trị đã tính: AD2+AC2=AD2+3AD2=4AD2
• Và DC2=(2AD)2=4AD2.
• Vì AD2+AC2=DC2 (4AD2=4AD2), nên △ADC là tam giác vuông tại A.
• Do đó, AC⊥AD. (Điều phải chứng minh)