Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x+ay=2\\ ax-2y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2-ay\\ ax-2y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a(2-ay)-2y=1\)
\(\Leftrightarrow y(a^2+2)=2a-1\)
Vì \(a^2+2\neq 0\forall a\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có nghiệm duy nhất \(y=\frac{2a-1}{a^2+2}\)
Thay vào pt ban đầu \(\Rightarrow x=2-\frac{a(2a-1)}{a^2+2}=\frac{a+4}{a^2+2}\)
Vậy với mọi giá trị của $a$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \((x,y)=\left(\frac{a+4}{a^2+2}, \frac{2a-1}{a^2+2}\right)\)
Để \(x,y>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a+4}{a^2+2}>0\\ \frac{2a-1}{a^2+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+4>0\\ 2a-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>-4\\ a> \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a> \frac{1}{2}\)
=>x=2-ay và a*(2-ay)-2y=1
=>x=2-ay và 2a-a^2y-2y=1
=>x=2-ay và y(-a^2-2)=1-2a
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2-ay\\y=\dfrac{2a-1}{a^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-\dfrac{2a^2-a}{a^2+2}=\dfrac{2a^2+4-2a^2+a}{a^2+2}=\dfrac{a+4}{a^2+2}\\y=\dfrac{2a-1}{a^2+2}\end{matrix}\right.\)
Để x>0 và y<0 thì a+4>0 và 2a-1<0
=>a>-4 và a<1/2
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\\left(a-1\right)x-3y=2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=3y\\\left(a-1\right)x-2=3y\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)x-2=x\\3y\left(a-1\right)-2=3y\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)x-x=2\\3y\left(a-1\right)-3y=2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)x=2\\3y\left(a-2\right)=2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2}{a-2}\\y=\frac{2}{3\left(a-2\right)}\end{matrix}\right.\)
- Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{a-2}>0\\\frac{2}{3\left(a-2\right)}>0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}a-2>0\\3\left(a-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
=> a > 2
Vậy ...
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=ay+a\\ ax+y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(ay+a)+y=1\)
\(\Leftrightarrow y(a^2+1)=1-a^2(*)\)
Ta thấy $a^2+1\neq 0$ với mọi $a$ nên PT $(*)$ luôn có nghiệm duy nhất $y=\frac{1-a^2}{a^2+1}$
$\Rightarrow x=ay+a=\frac{2a}{a^2+1}$
Vậy HPT luôn có nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{2a}{a^2+1}; \frac{1-a^2}{a^2+1})$ với mọi $a$
b)
Để $x,y>0$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2a}{a^2+1}>0\\ \frac{1-a^2}{a^1+1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a>0\\ 1-a^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ 1> a>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1>a>0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+ay=2\\ax-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-ay\\a\left(2-ay\right)-y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-ay\\2a-a^2y-y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-ay\\\left(-a^2-1\right)y+2a-1=0\left(.\right)\end{matrix}\right.\)
Hệ pt dã cho co nghiệm duy nhất khi pt (.) có nghiệm duy nhất
\(\Rightarrow-a^2-1\ne0\Leftrightarrow a^2\ne-1\)(luôn đúng)
Với mọi a(1) có
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-ay\\y=\dfrac{1-2a}{-a^2-1}=\dfrac{2a-1}{a^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-\dfrac{a\left(2a-1\right)}{a^2+1}=\dfrac{a+2}{a^2+1}\\y=\dfrac{2a-1}{a^2+1}\end{matrix}\right.\)
Để x> 0 thì \(\dfrac{a+2}{a^2+1}>0\Rightarrow a+2>0\Leftrightarrow a>-2\left(2\right)\)
Để y>0 thì \(\dfrac{2a-1}{a^2+1}>0\Rightarrow2a-1>0\Leftrightarrow a>\dfrac{1}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) -> với mọi a thỏa mãn a>1/2 thì hpt có nghiệm (x;y) sao cho x>0, y>0