Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
a) y= -x4 + 2mx2 – 2m + 1(Cm). Tập xác định: D = R
y ‘ = -4x3 + 4mx = -4x (x2 – m)
- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0
Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0
b) Phương trình -x4 + 2mx2 – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành.
c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:
với m > 0 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
a) Tập xác định : D = R
limx→−∞f(x)=+∞limx→+∞f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3limx→−∞f(x)=+∞limx→+∞f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) y=f(x) = f(x) = -x3+3x2+9x+2.
f’(x) = -3x2+6x+9. Do đó:
f’(x-1)=-3(x-1)2+6(x-1)+9
= -3x2 + 12x = -3x(x-4) > 0 ⇔ 0 < x < 4
c) f’’(x) = -6x+6
f’’(x0) = -6 ⇔ -6x0 + 6 = -6 ⇔ x0 = 2
Do đó: f’(2) = 9, f(2) = 24. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 = 2 là:
y=f’(2)(x-2) + f(2) hay y = 9x+6
a) y = x3 + 3x2 + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)
y’=0 ⇔ x = 0, x = -2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2+1=\dfrac{m}{2}\) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y=\dfrac{m}{2}\) (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại \(\dfrac{m}{2}\) )
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \(\dfrac{m}{2}< 1\Leftrightarrow m< 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \(\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2\) : (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(1< \dfrac{m}{2}< 5\)\(\Leftrightarrow2< m< 10\)
- Với \(\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: 1\(y-14=x-2\Leftrightarrow y=x+12\).
a) y = x3 + 3x2 + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)
y’=0 ⇔ x = 0, x = -2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Số nghiệm của phương trình x^3+3x^2+1=m/2chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y=m/2 (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại )
Từ đồ thị ta thấy:
- Với m/2<1⇔m<2: (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với m/2=1⇔ m = 2: (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm
- Với 1<m/2<5⇔ 2<m
- Với m/2=5⇔m=10: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với m/2>5⇔m>10 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: y−14=x−2⇔y=−2x+1
Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)
Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :
\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)
Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)\)
Để hàm số có cực trị thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=1>0\) với mọi m
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B (m+1; -2-2m)
Theo giả thiết ta có :
\(OA=\sqrt{2}OB\Leftrightarrow m^2+6m+1\Leftrightarrow\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
Vậy có 2 giá trị m là \(\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m<2. Tọa độ các điểm cực trị là :
\(A\left(0;m^2-5m+5\right);B\left(\sqrt{2-m};1-m\right);C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\)
