Question

[Trần Thị Quỳnh Chi]

Cho hàm số y =1/3x^3-1/2(sina+cosa)x^2+3/4xsin2a

a) Tìm a để y có cực đại và cực tiểu

b) Tìm a để \(x_1+x_2=x_1^2+x_2^2\) , trong đó x nhỏ dưới 1,2 là hoành độ cực trị

Answer 1

[KhảTâm]

Ta có \(y'=x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a\)

Để y có cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu hai lần, tức là:

\(\Delta=\left(sina+cosa\right)^2-3sin2a>0\)

\(\Leftrightarrow1+sin2a-3sin2a>0\)

\(\Leftrightarrow sin2a< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{6}+k2\eta< 2a< \frac{13\eta}{6}+k2\eta\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{12}+k\eta< a< \frac{13\eta}{12}+k\eta\)

Answer 2

[KhảTâm]

Tại cực trị \(y'=0\Leftrightarrow x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a=0\)(*)

(*) cho ta\(x_1+x_2=sina+cosa,x_1x_2=\frac{3}{4}sin2a\)(*)

Để \(x_1+x_2=x^2_1+x^2_2\)thì \(x_1+x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow sina+cosa=\left(sina+cosa\right)^2-\frac{3}{2}sin2a\)

\(\Leftrightarrow sina+cosa=1-\frac{1}{2}sin2a\)

Đặt \(t=cosa+sina=\sqrt{2}cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right),t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)

\(t^2=1+sin2a\Rightarrow sin2a=t^2-1\)

Do đó phương trình trên trở thành:

\(t=1-\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)\Leftrightarrow2t=3-t^2\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow t=1,t=-3\)

Vì\(t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)nên chỉ nhân t=1

\(\Rightarrow cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\frac{\eta}{4}\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{\eta}{4}=\pm\frac{\eta}{4}+k2\eta\)

\(\Leftrightarrow a=k2\eta\)hay \(a=\frac{\eta}{2}+k2\eta\)(thỏa điều kiện câu a)