Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số y = 1 3 x 3 − 2 m + 1 x 2 − m x + 2018 . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của hàm số m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 , x 2  ( x 1 < x 2 ) thỏa mãn x 1 > x 2 .

A. 2

B. 1

C. 0

D. vô số 

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C.

  y ' = x 2 − 2 2 m + 1 x − m ; y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 2 m + 1 x − m = 0 (*).

Δ ' = 2 m + 1 2 + m = 4 m 2 + 5 m + 1

Để hàm số có hai điểm cực trị thì y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó hai điểm cực trị x 1 , x 2  là hai nghiệm của phương trình (*).

Xét các trường hợp sau:

+ Phương trình (*) có nghiệm bằng 0 ⇒ m = 0 .

Với  m = 0   , (*) trở thành x 2 − 2 x = 0 ⇔ x 1 = 0 x 2 = 2 , không thỏa mãn  x 1 < x 2    mà  x 1 > x 2   .

+ Phương trình (*) có nghiệm 0 < x 1 < x 2 . Khi đó x 1 < x 2  nên trường hợp này không thỏa mãn.

+ Phương trình (*) có nghiệm  x 1 < 0 < x 2   .

Khi đó ta có

x 1 > x 2 ⇔ − x 1 > x 2 ⇔ x 1 + x 2 < 0  

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

P < 0 S < 0 ⇔ − m < 0 2 2 m + 1 < 0 ⇔ m > 0 m < − 1 2

 hệ này vô nghiệm.

+ Phương trình (*) có nghiệm  x 1 < x 2 < 0   . Khi đó ta có ngay  x 1 > x 2   .

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

Δ ' > 0 P > 0 S < 0 ⇔ 4 m 2 + 5 m + 1 > 0 − m > 0 2 2 m + 1 < 0 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 1 ∪ − 1 4 ; + ∞ m < 0 m < − 1 2 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 1

Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.