Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhìn 2 vế của hàm số thì có vẻ ta cần phân tích biểu thức vế trái về dạng \(\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'=f\left(x\right).u'\left(x\right)+u\left(x\right).f'\left(x\right)\), ta cần tìm thằng \(u\left(x\right)\) này
Biến đổi 1 chút xíu: \(\frac{\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'}{u\left(x\right)}=\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}f\left(x\right)+f'\left(x\right)\) (1) hay vào bài toán:
\(\left(\frac{x+2}{x+1}\right)f\left(x\right)+f'\left(x\right)=\frac{e^x}{x+1}\) (2)
Nhìn (1) và (2) thì rõ ràng ta thấy \(\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(ln\left(u\left(x\right)\right)=\int\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx=x+ln\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=e^{x+ln\left(x+1\right)}=e^x.e^{ln\left(x+1\right)}=e^x.\left(x+1\right)\)
Vậy ta đã tìm xong hàm \(u\left(x\right)\)
Vế trái bây giờ cần biến đổi về dạng:
\(\left[f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)\right]'=e^x\left(x+2\right).f\left(x\right)+f'\left(x\right).e^x\left(x+1\right).f'\left(x\right)\)
Để tạo thành điều này, ta cần nhân \(e^x\) vào 2 vế của biểu thức ban đầu:
\(e^x\left(x+2\right)f\left(x\right)+e^x\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^{2x}\)
\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).e^x.\left(x+1\right)\right]'=e^{2x}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)
Do \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(0\right).e^0=\frac{1}{2}e^0+C\Rightarrow C=0\)
Vậy \(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{e^x\left(x+1\right)}=\frac{e^x}{2\left(x+1\right)}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{e^2}{2\left(2+1\right)}=\frac{e^2}{6}\)
Vẫn là đạo hàm của tích
Dễ dàng viết được:
\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]'.f'\left(x\right)+f\left(x\right).\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'\)
Do đó giả thiết biến đổi thành:
\(\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=15x^4+12x\)
Nguyên hàm 2 vế:
\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\left(15x^4+12x\right)dx=3x^5+6x^2+C\)
Thay \(x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(0\right).f\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right).f\left(x\right)=3x^5+6x^2+1\)
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế:
\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^5+6x^2+1\right)dx\) với chú ý \(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int f\left(x\right).d\left[f\left(x\right)\right]=\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)+C\)
Nên:
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f^2\left(1\right)\)