Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0 khi x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \frac{1}{2+{\tan }^2\left(x\right)} \end{array}\right.$

Tìm điều kiện của a để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ tuần hoàn

A.  $a\in Z$

B.  $a\in Q$

C.  $a\in N$

D.  $a\in \left(0;+\infty \right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Xét hàm số 

- Nếu a = p q  với p ∈ Z , q ∈ N *  thì T = q π  là chu kì của g(x)

Vì g x + q π = f x + q π + f a x + p π  còn π  là chu kì của hàm số f(x)

- Ta sẽ chứng minh nếu a là số vô tỉ thì g(x) không tuần hoàn

Để ý rằng g 0 = f 0 + f 0 = 1 . Nếu g x 0 = 1  đối với x 0 ≠ 0  nào đó thì  tan 2 x 0 = 0  và tan 2 a x 0 = 0 . Điều này có nghĩa là x 0 = k π  và a x 0 = l π  với  k , l ∈ Z

Nhưng x 0 ≠ 0  nghĩa là a = 1 k . Điều này mâu thuẫn vì a là số vô tỉ. Do đó hàm số g(x) nhận giá trị 1 tại điểm duy nhất x = 0. Như vậy f(x) sẽ không tuần hoàn

Đáp án B